【原】重庆市巴蜀中学2022届高三上第5次月考第22题：琴生不等式

“琴生不等式”是高等数学的内容，是凸函数的重要性质。每个凸函数都有相应的琴生不等式，在证明不等式中有着广泛的应用。

琴生不等式进入高考，最早可以追溯到1994年。后来一发而不可收拾，尤其是在地方卷中百花齐放，不断推陈出新。高质量的创新试题一直持续到了2012年，步伐戛然而止，从此琴生不等式淡出高考舞台，一度销声匿迹，荡然无存。

显然，模考与高考并非完全同步，对此情有独钟，所以依然能看到琴生不等式的风采。我很喜欢，即便它老了容颜，换了人间，依然一见如故。重庆“巴蜀中学”的这道琴生不等式，不期而遇，大概是有趣的灵魂终将相遇。

法1，主元法。所谓主元法，即是在一个多变量的代数式或函数中，选取一个特定的变量作为主元，其它变量视为常数的方法。在导数中，主元法是应对双变量问题的常用方法。

本题过程不长，但计算量却不容小觑。尤其是那些大块头的公式，令人不寒而栗。上述过程大致可整理为三步：

（1）作差，选择主元构造函数；

（2）求导，判断辅助函数的单调性；

（3）证明，由单调性证明不等式。

如此一分割，解题过程变得层次分明。其中最难的无疑是第二步，不但需要二阶导数，而且需要借助三角函数的有界性放缩。

法2，琴生不等式。不得不说，法2堪称传奇，一针见血。很遗憾，这只能作为围观的对象。至于考试中能否作为救命的稻草，全凭运气。

函数的凹凸性反映在几何上，便是曲线的弯曲方向。琴生不等式与凹凸性息息相关，它既可以作为凹凸性的定义，也可以作为凹凸性的应用。

关于琴生不等式，我想我有必要说得更多：

上述两个定理是等价的，可用数学归纳法证明。此处略过，感兴趣的可查阅相关资料。琴生不等式在解答题中束手束脚，不过在小题中却可以为所欲为。而以此为背景的数学文化多以小题出现，所以还有什么好犹豫的呢？我是不是泄露了什么？

至于掌握得怎样，下题不妨一试。