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昨天给娃们讲平面几何和直线的结合，觉得刚好是个不错的机会讲正确和合理的关系。 有很多人会觉得这有什么好讲的？这不是一回事么？其实不然，这里面还是大有文章的。 不和任何数学联系，就以日常生活经验来说，你觉得正确和合理是一种什么样的关系？ 比如有人问我，老师，我娃到底有没有数学天赋？ 正确的回答是：没有（我）。合理的回答是：其实你娃聪明是聪明的，就是粗心（大陆）。 一般而言，正确的方式不一定合理，而合理的方式不一定正确。 不过在数学的情况需要略加改动： 正确的方法不一定合理，而合理的方法一定正确。 当时谈到这个关系的时候是用的下面这张图： 我们知道，直角坐标系中最重要的那个点一定是坐标原点，一次函数对应的几何图形是线段，所以三角形特别是直角三角形和一次函数之间的联系几乎是天然的。 那么很自然的，我们给出了平面几何图形，想借助一次函数来研究平面几何，碰到的第一个问题就是坐标原点的选取问题，你觉得这四个图中，哪个点可以当坐标原点呢？ 学生们开始七嘴八舌地讨论起来，第一图中C点，第二图中C或者E，第三图中E、C、F，第四图中C、E、F点等等。 给读文章的你一分钟时间想想然后再往下看，你觉得孩子们回答的对么？再仔细想一想，这四张图上哪些点可以当坐标原点？ 事实上，平面上每个点都可以当坐标原点，难道不是么？ 也就是说，同学们挑出来的点以及四张图中每条线段上的点，甚至空白地方的点都可以当坐标原点——区别在于，你要的那些点的坐标计算是否方便，这就是我所说的数学中合理性和正确性的问题。 当然，这个例子中的正确性和合理性还是非常一目了然的，我们可以挨个来看一下。 图一中，标注的五个点都可以选做坐标原点，CD和CE的长度一般是给出的，所以不管谁做原点，其余几个点的坐标都是容易写出来的。当然，选取C点作为坐标原点，DB和AC分别为x轴和y轴最符合我们的视觉习惯，因此这是最合理的，其他四个点是合理点，除了这五个点以外的点是正确但不合理的点。 图二和图一类似，五个点也都是合理的，C点也是最符合视觉习惯的，但是无论挑哪个点当原点，C或者E的坐标总有一个比较麻烦一些。 图三具有一定的迷惑性。C处也有个天然的直角，看起来也是合理的，但是只要细想一下，如果你挑了C作为坐标原点，除了A、B以外，其他的点的坐标都要通过计算得到，因此不是特别合理。 图四中最适合当坐标原点的点应该是E、F，虽然坐标系建好了以后是斜的，但是无论哪个点的坐标都很容易写。 事实上，初中一次函数和三角形的结合是非常初步的，但是正确和合理的意识一定要建立起来。到了高中学习立体几何的时候，现在流行使用向量的办法进行证明和计算，那时候将大量地涉及到如何合理地建立坐标系的问题。你会发现有的坐标系建立了以后，从视觉角度来说是不舒服的，但是算起坐标来那叫一个真香。。。 除了坐标系原点的问题以外，你可以让娃尝试着把所有做过的数学题都考虑一下正确和合理的问题——这个题做对了，是不是有更合理的做法？如果想不到，那么就看老师提供的解答。如果他提供的答案和娃的一致，那么大概率娃已经找到了合理的方法；如果老师提供的答案要明显优于娃的，那么这时候就可以考虑如果让自己走上合理的这条路。 当然，这个训练是针对学有余力的孩子，如果孩子连做对都非常吃力，那这个要求可以暂时不做，今天讲的是锦上添花的事儿，不是雪中送炭。 |
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