初中数学题型汇总：几何图形初步解题技巧01（基础）

几何图形初步01（基础）

【解题技巧】本段技巧摘自《初中数学典型题思路分析》 

1.展开与折叠问题

A.圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图

将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢？

(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．

 

(2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．

 

(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)．

 

B.正方体的表面展开图

(1)正方体的表面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四种情形（1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型和3-3型）。各种类型的共同特点是行与行之间有且只有一个“日”型结构，由此可知正方体的展开图不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构，因为这里的行与行之间出现了两组“日”型结构．

 

(2)正方体展开图中相对面的寻找技巧：相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面，如图1中的A面和B面；‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面，如图2、图3的A面和B面．

 

此种方法简称为“相间、‘Z’端是对面”．

技巧  正方体的表面展开图的判断思路

(1)是否满足四种阵型中的一种；

(2)行与行之间有且只有一个“日”型结构。

C.正方体表面展开图的应用

如果不考虑由于旋转等造成的相对位置的不同，正方体表面展开图一共有11个．正方体表面展开图的特点是每一个顶点周围的棱不超过三条．

(1)“1–4–1”型有6个，其中通过“1”的移动可以由一个得到另外的5个，如图．

 

(2)“1–3–2”型有3个，其中通过“1”的移动可以由1个得到另外的2个，如图．

(3)“3–3”型有一个，“2–2–2”型有一个，如图．

 

D.其他立体图形展开图的应用

由平面图形围成的立体图形叫多面体，其表面展开图可以有不同的形状．应多实践，观察，并大胆想象立体图形与表面展开图的关系．

立体图形的表面展开图包括侧面展开图和底面展开图，画立体图形的展开图时，一定先观察立体图形的每一个面的形状．

圆柱的侧面展开图是长方形，底面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆；n棱柱的侧面展开图是n个高相等的长方形，底面是n边形；n棱锥的侧面展开图是n个三角形，底面是n边形．

E．立体图形展开图的应用

立体图形展开图的考查一般以选择题为主要方式，答案的获得需要同学们经历一定的实验操作过程，当然同学们也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟(想象)折纸、翻转活动，较好地考查了同学们的空间观念．

解决此类问题，要充分考虑带有各种符号和各种图案的面的特点及位置，解题时，先正确画出立体图形的表面展开图，再仔细观察图案以及符号的不同特点，从而选出正确的答案．

有时，根据图案的位置和方向可以先把一些很明显的不符合题目要求的选择项先排除掉，再一步步的寻找正确的选项．

要想灵活解决此类问题，一要熟练掌握立体图形展开图的基本知识和解题技巧；二要充分发挥自己的空间想象力；三要不断积累生活经验和解题经验．

题型一：平面图形与立体图形

【典型题1】 

下列图形中，表示平面图形的是___；表示立体图形的是___.（填入序号）

【答案解析】图中②④有虚线，说明虚线部分被遮住，因此②④是立体图形，表示平面图形的是①③；表示立体图形的是②④.

题型二：从不同角度观察立体图形——三视图

【典型题2】本题摘自《初中数学典型题思路分析》 

沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是(    )．

 【答案】D

题型三：几何体的表面积

【典型题3】 本题摘自《初中数学典型题思路分析》

一个正方体的棱长为4cm,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长

为1cm的小正方体,如图.挖去后所得立体图形的表面积是_______.

 

【解题思路】原正方体每个面的正中挖去一个棱长为1cm的小正方体,多了五个正方形表面.其中与原正方体表面平行的—个面向外平移正好补上正方体表面挖去的正方形,实际增加了四个边长为1cm的正方形,即表面积增加4cm²

【答案解析】挖去六个小正方体共增加表面积24cm²,所以所求立体图形的表面积是4×4×6＋24＝120（cm²）.

题型四：符合三视图的几何体的最值问题

【典型题4】本题摘自《初中数学典型题思路分析》

如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（      ）

【答案】8个.

题型五  立体图形的形成与构成

【典型题5】本题摘自《初中数学典型题思路分析》 

已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时，所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图(如图)是(    )．

【答案】D.

题型六  计算面动形成几何体的表面积或体积

【典型题6】 

题型七  正方体展开图

【典型题7】本题摘自《初中数学典型题思路分析》  

一个正方形的每一个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方形中，与“爱”相对的字是(  )．

 

A．家  B．乡C．孝  D．感

【答案解析】可对展开图加以分析，根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点，“爱”的对面不可能是“我”或“家”，折叠起来后“孝”、“感”与“爱”相邻，所以“爱”的对面不可能是“孝”、“感”，所以与“爱”相对的字是“乡”；

本题应用正方体展开图的对面寻找技巧——“相间、‘Z’端是对面”来解决，会非常简单，由相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面易知“爱”与“乡”相对．

【典型题8】本题摘自《初中数学典型题思路分析》  

（中考真题）下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（  ）

【解题思路】熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．

【答案解析】正方体沿着不同棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况故选：C．