【原】初中数学重要知识点内容解析：关于《反比例函数矩形存在性问题》例题分析

1．如图，在同一平面直角坐标系中，将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后，与反比例函数y＝8/x的图象分别交于第一、二象限的点B、D，已知点A（﹣m，0）和C（m，0）．

（1）不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是　平行四边形　

（2）当点B为(p，2√2)时，四边形ABCD是矩形，试求p，α和m的值；

（3）对（2）中的m值扩大√5/2倍，是否能使四边形ABCD为矩形？若能请求出D点坐标，若不能请说明理由．

【分析】（1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB＝OD，又OA＝OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形状；

（2）把点B（p，2√2）代入y＝8/x，即可求出p的值；过B作BE⊥x轴于E，在Rt△BOE中，根据正切函数的定义求出tanα的值，得出α的度数；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的长度，然后根据进行的对角线相等得出OA＝OB＝OC＝OD，从而求出m的值；

（3）当m＝2√5时，设D（x，8/x），则x＜0，由OB＝2√5，由此构建方程即可解决问题；

【解答】解：（1）∵点B与点D关于点O成中心对称，则OB＝OD，又OA＝OC，

∴四边形ABCD的形状一定是平行四边形；

故答案为：平行四边形；

 

（2）∵点B（p，2√2）在y＝8/x的图象上，

∴2√2＝8/p，

∴p＝2√2，

∴BO＝4，B（2√2，2√2），

∴OB是第一象限的角平分线，

∴α＝45°，

又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，

∴点B、D关于原点O成中心对称，

∴OB＝OD＝4，

∵四边形ABCD为矩形，且A（﹣m，0），C（m，0），

∴AO＝BO＝CO＝DO＝4，

∴m＝4；

 

（3）当m＝2√5时，设D（x，8/x），则x＜0，由OB＝2√5，

得出x2+64/x²＝20，

解方程得：x＝±4或±2（正数舍去），

故能使四边形ABCD为矩形的点D共有2个分别为：（﹣4，﹣2）、（﹣2、﹣4）；

【点评】本题主要考查了反比例函数综合、平行四边形的判定，矩形、菱形的性质及三角函数的定义等知识，正确把握矩形、菱形的性质是解题关键．

 

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练1．如图1，平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，0）．将△OAB沿OA翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝k/x（k≠0）的图象上．

（1）判断四边形OBAC的形状，并证明；

（2）直接写出反比例函数y＝k/x（k≠0）的表达式；

（3）如图2，将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，设平移的距离为m（0＜m＜4），平移过程中△O′A′B'与△OAB重叠部分的面积为S．探究下列问题．

请从A，B两题中任选一题作答，我选择（　　）题．

A：若点B的对应点B′恰好落在反比例函数y＝k/x（k≠0）的图象上，求m的值，并直接写出此时S的值；

B：若S＝1/2S△OAB，求m的值；

（4）如图3，连接BC，交AO于点D．点P是反比例函数y＝k/x（k≠0）的图象上的一点．

请从A，B两题中任选一题作答，我选择（　　）题．

A：在x轴上是否存在点Q，使得以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；

B：在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）如图1，过点A作AE⊥OB于E，由勾股定理可求AB＝OB＝5，由折叠的性质可得AB＝AC，BO＝CO，可证四边形ABOC是菱形；

（2）由菱形的性质可求点C坐标，即可求解；

（3）A：先求m的值，通过证明△ANP∽△A'B'O'，由相似三角形的性质可求解；

B：通过证明△ANP∽△A'B'O'，由相似三角形的性质可求解；

（4）A：分OD为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；

B：分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的判定和性质可求解．

【解答】解：（1）四边形ABOC是菱形，

理由如下：如图1，过点A作AE⊥OB于E，

∵A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，0），且AE⊥BO，

∴BO＝5，BE＝3，AE＝4，

∴AB＝√BE²+√AE²=√16+√9＝5，

∴AB＝BO，

∵将△OAB沿OA翻折，

∴AB＝AC，BO＝CO，

∴AB＝AC＝BO＝CO，

∴四边形ABOC是菱形；

（2）∵四边形ABOC是菱形，

∴AC∥BO，且A点坐标（﹣2，4），AC＝AB＝5，

∴点C（3，4）

∵点C恰好落在反比例函数y＝k/x（k≠0）的图象上，

∴k＝3×4＝12，

∴反比例函数表达式为y＝12/x；

（3）A：∵将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，

∴点B'的横坐标为﹣5，

∴y＝﹣12/5，

∴m＝12/5，

连接AA'，并延长AA'交BO于点E，

∴AE＝4，AA'＝12/5，

∴A'E＝8/5，

∵S△ABO＝1/2×5×4＝10，且将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，

∴S△A'B'O'＝10，

∵BO∥B'O'，

∴△ANP∽△A'B'O'，

∴S△ANP/ S△A'B'O'=(8/5/4)²

∴S＝10×4/25=8/5

B：∵BO∥B'O'，

∴△ANP∽△A'B'O'，

∴S△ANP/ S△A'B'O'＝[（4-m）/4]²＝1/2

∴m＝4﹣2√2；

（4）A：∵四边形ABOC是菱形，

∴AD＝OD，

∵A（﹣2，4），点O（0，0），

∴点D（﹣1，2），

若OD为边，则点P在纵坐标为2或﹣2，

∴y＝12/2＝6或y＝12/-2＝﹣6，

∴点P（6，2）或（﹣6，﹣2），

如图3，当P（6，2）时，

∵四边形ODPQ是平行四边形，

∴DP＝OQ＝7，

∴点Q（7，0），

如图4，当P（﹣6，﹣2）时，

∵四边形ODQP是平行四边形，

∴OQ与PD互相平分，

∴点H（﹣7/2，0）

∴点Q（﹣7，0），

若DO为对角线，

∵四边形QOPD是平行四边形，

∴PQ与OD互相平分，

∵OD中点坐标（﹣1/2，1）

∴点P纵坐标为2，

∴点P坐标为（6，2）

∴点Q坐标为（﹣7，0）

综上所述：当点P（6，2），点Q为（7，0）或（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，当点P（﹣6，2），点Q（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；

B：若以AO为对角线，在坐标平面内不存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形；

若以AO为边，如图5，过点Q作QE⊥AC于E，过点P作HP⊥BO于H，

∵A点坐标（﹣2，4），点O坐标（0，0），

∴直线AO解析式为：y＝﹣2x，

∵以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形，

当∠AOP＝90°，

∴直线OP解析式为：y＝1/2x，

直线AQ解析式为：y＝1/2x+5，

∴y=1/2x,y=12/x

∴x=±2√6，y=±√6

∴点P（2√6，√6）或（﹣2√6，﹣√6），

∴OH＝2√6，PH＝√6，

∵四边形AOPQ是矩形，

∴AQ＝OP，AQ∥OP，

∴∠QAO＝∠AOP＝90°，

∵AC∥BO，

∴∠CAO+∠AOH＝180°，

∴90°﹣∠QAE+90°+∠POH＝180°，

∴∠QAE＝∠POH，且AQ＝OP，∠QEA＝∠PHO＝90°，

∴△AQE≌△OPH（AAS）

∴QE＝PH＝√6，AE＝OH＝2√6，

∴点Q（﹣2+2√6，4+√6）或（﹣2﹣2√6，4﹣√6），

当∠P'AO＝90°，同理可求点Q（4，2）或（﹣10，﹣5）；

综上所述：当点Q（﹣2+2√6，4+√6）或（﹣2﹣2√6，4﹣√6）或（4，2）或（﹣10，﹣5）时，以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形．

【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．