系统的牛顿第二定律与整体法

系统的牛顿第二定律与整体法
在静力学、动力学问题中，涉及到系统外力时，我们往往采用整体法处理，但是很多资料并没有讲清楚整体法的适用条件，以及背后的理论基础，甚至限定只允许在几个物体相对静止时使用整体法，使得整体法的适用范围大大缩小。本文则从系统的牛顿第二定律入手，奠定整体法解决静力学、动力学问题的理论基础，并通过实例展示整体法的广阔应用空间。
一、系统的牛顿第二定律
1、推导
如图所示，两个物体组成一个系统，外界对系统内物体有力的作用（系统外力），系统内物体之间也有相互作用（系统内力），则

对1：
对2：
其中，
联立，得：
这个方程中，等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加。
上述推导中，研究对象只有两个，但是很容易将上述结论推广到任意多个研究对象，方法仍然是分别对各个物体列动力学方程，然后相加——由于内力总是成对出现，且每对内力总是等大反向，因此相加的结果仍然是：等式左边只剩下系统外力，等式右边则是各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加。这个结论就是系统的牛顿第二定律，其通式为：

或者： ，
2、理解
系统的牛顿第二定律表达式左边只有系统外力，因此它只适用于处理系统外力相关问题，一旦涉及系统内力，则只能用隔离法。系统的牛顿第二定律表达式右边为“各个部分的质量乘以相应的加速度然后矢量相加”，因此并不要求各个部分相对静止——各个部分有相对速度、相对加速度时，仍然可以选系统为研究对象，使用整体法处理问题。
如果系统内各个部分是相对静止的——即各个部分的加速度、速度均相同，则系统的牛顿第二定律方
程可以简化为： ，这就是我们熟悉的几个物体相对静止时的整体动力学方程。
对于这个方程，我们甚至可以这样理解——任何物体都是有内部结构的，组成物体的各个部分之间都存在相互作用和相对运动，但是，在处理某些问题时，当内部运动相对整体运动可以忽略不计时，我们就可以近似的认为各个部分是相对静止的，把物体当作一个“质点”来处理，从而只需要考虑整体所受外力的影响。比如人站在地面上不动，求地面支持力的大小——这个问题中，人体内心脏在跳动、血液在流动、肺部在呼吸、肠胃在蠕动……但是，在大部分问题的处理中，我们往往并不考虑这些，而直接把人体当作一个质点来处理了。
不过，上述推导过程中，将系统内力进行了相加，并且依据一对内力总是等大反向（牛顿第三定律），认为内力总和为零。实际上，内力作用对系统内各个物体的加速度是有影响的，一对内力的效果是无法抵消的——毕竟它们是作用在不同物体上。因此，内力总和为零是从数学意义角度处理的，系统的牛顿第二定律是一个有用的数学结论。有些学生无法理解明明是作用在1物体上的力，如何会在2SPAN>
二、整体法的应用举例
因为不涉及系统内力，所以用整体法处理问题往往来得比隔离法分别处理各个物体要简洁、迅速得多，因此，审题时要敏锐的把握住题意——是否涉及的是系统外力，或者只需要考虑系统外力即可，如果是，优先考虑使用整体法（系统牛顿第二定律）。
1、静力学中的应用
（1）系统内几个物体相对静止的情况
【例1】(2010·山东理综)如图所示，质量分别为m₁、m₂的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m₁在地面，m₂在空中)，力F与水平方向成θ角．则m₁所受支持力F_N和摩擦力F_f正确的是(　　)
A．F_N＝m₁g＋m₂g－Fsinθ
B．F_N＝m₁g＋m₂g－Fcosθ
C．F_f＝Fcosθ
D．F_f＝Fsinθr>【分析】地面对m₁的支持力、摩擦力，是“m₁、m₂、轻弹簧整体”的系统外力，因此本题用整体法较快。
【解析】选m₁、m₂、轻弹簧整体为研究对象，其受力如图所示，则有：
竖直方向：F_N＋Fsinθ－(m₁＋m₂)g＝0
水平方向：F_f－Fcosθ＝0
解得：F_N＝m1g＋m₂g－Fsinθ，F_f＝Fcosθ。选BC。
【例2】(2014·济宁模拟)如图所示，两个光滑金属球a、b置于一个桶形容器中，两球的质量m_a>m_b，对于图中的两种放置方式，下列说法正确的是(　　)
A．两种情况对于容器左壁的弹力大小相同
B．两种情况对于容器右壁的弹力大小相同
C．两种情况对于容器底部的弹力大小相同
D．两种情况两球之间的弹力大小相同
【分析】容器壁和容器底部对球的弹力都是系统外力，因此可以使用整体法分析；不过本问题中，系统在水平方向所受外力均为未知力，因此仅仅选整体为研究对象，是无法求解的。因此需要先选上面的物体为研究对象，分析出左壁对球的弹力后，再用整体法才可。
【解析】以上面的金属球为研究对象，其受力如图1所示，将三个力按顺序首尾相接，得如图2闭合三角形，则有：F_N1=m_上gtanθ，，由于两种情况下θI>不变，则m_上减小时，F_N1、F_N均减小。
选两球整体为研究对象，其受力如图3所示，则有：
竖直方向：F_N地－(m₁＋m₂)g＝0
水平方向：F_N1－F_N2＝0
解得：F_N地=(m₁＋m₂)g不变，F_N1=F_N2＝m_上gtanθ均变化。
本题选C.
（2）系统内个别物体匀速运动的情况
【例3】(2013·北京理综·改编)倾角为α、质量为M的斜面体静止放置在粗糙水平桌面上，质量为m的木块恰好能沿斜面体匀速下滑。则下列结论正确的是(　　)
A．木块受到的摩擦力大小是mgcosα
B．木块对斜面体的压力大小是mgsinα
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsinαcos α
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
【分析】桌面对斜面体的摩擦力和支持力是系统外力，可以选木块、斜面体系统为研究对象分析这两个力。
【解析】选木块为研究对象，易知A应为mgsinα、B应为mgcosα；选木块、斜面体系统为研究对象，其受力如图所示，由题意，木块、斜面体加速度均为0，故有：
竖直方向：F_N地－(M＋m)g＝0
水平方向：F_f＝0
解得：F_N地=(M＋m)g。本题选D。
2、动力学中的应用
（1）系统内几个物体相对静止的情况
【例4】(2012·江苏高考)如图所示，一夹子夹住木块，在力F作用下向上提升。夹子和木块的质量分别为m、M，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f。若木块不滑动，力F的最大值是(　　)
A． B． C．－(m＋M)g D．＋(m＋M)g
【分析】力F是系统外力，可用整体法分析；但是，整体加速度取最大值时——即临界点——是在夹子与木块的接触面上静摩擦力最大时，这是系统内力，因此需先用隔离法——选木块为研究对象——求出整体加速度的最大值。
【解析】设系统允许的最大加速度为a。
选木块为研究对象，有：2f－Mg=Ma
选整体为研究对象，有：F－(M+m)g=(M+m)a
联立，解得：F=.选A。
【例5】如图所示，水平转台上放有质量均为m的两个小物块A、B，A离转轴中心的距离为L，A、B间用长为L的细线相连。开始时，A、B与轴心在同一直线上，细线刚好被拉直，A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
(1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？
(2)当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？
【解析】（1）转台角速度取值逐渐变大的过程中，B所受静摩擦力先达到最大值，此时对B，有：，解得：
角速度取值再增大时，B有离心运动趋势，绳中出现张力。
pan>（2）转台角速度取值进一步增大，A所受静摩擦力也逐渐增大到最大值，此时，对A、B系统，有：，解得： 。
（2）系统的物体间存在相对运动的情况
①直线运动
【例6】一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱与杆的质量为M，环的质量为m，如图所示。已知环沿杆以加速度a匀加速下滑，则此时箱对地面的压力大小为(　　)
A．Mg br> B．Mg－ma
C．Mg＋mg D．Mg＋mg－ma
【分析】由牛顿第三定律可知，箱对地面的压力大小等于地面对箱的支持力，地面是“箱、环系统”的外面，因此分析地面对箱的支持力时可用整体法。
【解析】选箱、环系统为研究对象，其受力如图所示，由系统的牛顿第二定律，有：
(M＋m)g－F_N=M×0+ma
解得：F_N=(M＋m)g－ma。由牛顿第三定律可知，箱对地面压力F’_N=F_N=(M＋m)g－ma。选D.
【例7】如图所示，滑块A以一定初速度从粗糙斜面体B的底端沿B向上滑，然后又返回，整个过程中斜面体B与地面之间没有相对滑动，那么滑块向上滑和下滑的两个过程中（　　）
A．滑块向上滑动的时间等于向下滑动的时间
B．滑块向上滑动的时间大于向下滑动的时间
C．斜面体B受地面的摩擦力大小改变、方向不变
D．斜面体B受地面的支持力大小始终等于A与B的重力之和
【解析】滑块上滑时做减速运动，加速度沿斜面向下，大小为 ，下滑时做加速运动，加速度沿斜面向下，大小为 。由于上滑、下滑位移相同，且最高点速度均为零，易知上滑时间短。