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背景综述 在几何中存在一些诸如30°，45°，60°，90°的角，我们将其称之为特殊角。其特殊之处主要体现在这些角的三角函数值上，对于一般的角度，难以直接计算出对应角的三角函数值，但这些特殊角则可以，如cos30°= ,sin45°= ，tan60°= 等。 而当坐标系中出现特殊角时，一般有两种考查视角：一是三角函数视角，考查特殊角的三角函数与直线斜率之间的联系；二是图形构建视角，考查利用特殊角来构建特殊的图形进而挖掘特殊图形的特征.下面对坐标系中的特殊角进行深人探究，总结相应的解题策略。  点击加载图片 这里除了常见的30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围。  点击加载图片 以及从最后一张图中可得二倍角或者半角的三角函数构造． 比如求tan15°：  点击加载图片 tan22.5°：  点击加载图片 一般半角三角函数值求法：  点击加载图片 一般二倍角函数值求法：  点击加载图片  点击加载图片 引例呈现 引例1：坐标系中的45°角 如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为y=1/2x，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式．  点击加载图片  点击加载图片 [分析] 思路1：构造三垂直相似（全等） 在坐标系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形． 在直线AB上取一点O，过点O作OP⊥AB交CD于P点，分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点． 故PF=OE=2，OF=ME=1， 故P点坐标为（-1，2）， 结合P、M坐标可解直线CD解析式：y=-1/3x+5/3． 构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点O作CD的垂线，  点击加载图片 但直角顶点未知的情况计算略难于直角顶点已知的情况，故虽可以做但并不推荐． 思路2：利用特殊角的三角函数值． 过M点作MN∥x轴，则tan∠OMN=tanα=1/2，tan∠CMN=1/3， 考虑到直线CD的增减性为y随着x的增大而减小，故kCD  点击加载图片 所以直线CD：y=-1/3(x-2)+1，化简得：y=-1/3x+5/3． 点击加载图片 方法归纳 在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手： 思路1：根据三角函数值构造三垂直相似（或全等）； 思路2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k”。 由斜率的符号可分为两种类型，但基本关系不变，对于直线kx+b，直线与轴的夹角存在固定关系，即tana= .以k＞0为例，如图，点P（ ）和Q（ ）是直线y=kx+b上的两点，则tan ，同时 tan =pм/QM，因此可由特殊角求直线斜率，中联直线上点坐标、斜率、垂线长的关系 y=kx+b的k”与“直线和x轴的夹角”存在某种固定的联系． 点击加载图片 关系就是：tanα=k的绝对值（α是直线与x轴的夹角）． 点击加载图片 引例2：坐标系中的一般特殊角 如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为y=1/2x，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转α得到直线CD，且tanα=3/2，求直线CD解析式． 点击加载图片 在直线AB上再选取点O构造三垂直相似，如下图所示， 点击加载图片 易证△PFO∽△OEM，且相似比PO：OM=tan∠PMO=3/2， 即OF=3/2ME=3/2，PF=3/2OE=3， 故P点坐标为(-3/2，3)， 结合P、M点坐标可解直线CD解析式：y=-4/7x+15/7． 应用探究 例1.如图，在Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB＝90°，∠B＝30°．若点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上运动，点B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上运动，则k＝___． 点击加载图片 [解析]如图分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b），则ab＝1．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出BDOD＝3ab＝3， 又因为点B在第四象限，所以k＝﹣3．故答案为：﹣3． 例2．（2020营口中考第26题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC； (1)如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； (2)如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标． 点击加载图片 解析：（1）y＝ax2+bx-3＝a(x+3)(x﹣1)，将(0,-3)代入，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3 (2)等角的纯在性 情况1：点P在BC右侧,等角共边，异侧作平行 点击加载图片 过B作y轴平行线交CD于P，因为BP∥OC，则∠PBC=∠OCB，由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为： y＝x﹣3；将x=1代入得y=-2，故点P(1,-2). 情况2：点P在BC左侧,等角共边，同侧构等腰 点击加载图片 在OC上取点D，使CD=BD，设BD=CD=m，则OD=3-m，在Rt△ODB中，由勾股定理得： 12+(3-m)2=m2，解得m=5/3，则OD=4/3，故点 D(0,-4/3)，可求BD得解析式，进而与直线DC的解析式连接解方程，可求得点P(-5,-8), 综上所述：点P的坐标为(1,-2)，(-5,-8). (3)特殊角45°存在性 法一：整体旋转 过N作ND⊥x轴于点D，将△AND绕点N逆时针旋转45°至△A'ND'，连接NA'与抛物线交于点M，先求点D'坐标，再构k型求得点A'坐标，进而求出直线NA'解析式，最后与抛物线解析式联立解方程即可求出点M坐标. 点击加载图片 法二：等腰直角三角形+K型全等 点击加载图片 法三：构“一线三等角” 点击加载图片 法四：子母相似 点击加载图片 法五：隐圆 点击加载图片 故可求点M（- ，- ）。 上述例题相对比较简单，很中规中矩的一道中考压轴题，利用我们总结的方法，可以轻松解决，当45°角的顶点坐标已知时，可构造全等型三垂直模型，求出F点的坐标，从而得到直线解析式，联立解析式和动点所在轨迹直线或抛物线解析式，即可求得满足条件的点。属于通解通法。 点击加载图片 反思建议 下面提出两点建议. 建议一：关注知识综合，总结关联点综合性问题的突破过程中必然耍利用众多的基础知识，如何将这些知识进行串联是解题的关键，这对于上述坐标系中的特殊角问题同样重要。 教学中教师要引导学生关注知识综合，关注知识间的联系点，如上述例题中直线斜率与三角函数的关系、三角函数与直角三角形的关联，实际教学可从基本的定义概念人手，挖掘知识间的关联点，构建相应的知识体系，使学生深刻理解教材内容。 建议二：重视思想方法，灵活运用解题 上述总结的特殊角的两种处理策略中渗透着数学的转化思想和模型思想，即可格特殊角条件转化为斜率条件，也可以依托特殊角构造特殊模型因此学习特殊角问题的处理方法，就应重视其中的数学思想方法。 教学中教师应引导学生关注解题策略中隐含的数学思想，理解对应的思想内涵，掌握运用数学思想构建解題思路的技巧，通过思想方法教学*拓展学生思维，从思想上提升学生的解题能力。 |
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