角系列之构造二倍角、半角

既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：

思路1：构造半角三角函数．

构造二倍角三角函数：

思路2：等腰三角形外角．

三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和．

当然方法远不止于此，仅提供一点解题思路，接下来看一点中考题中的二倍角、半角问题．

2019咸宁中考（删减）

【转化为等角】

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1/2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-1/2x²+bx+c经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．

2018扬州中考（删减）

【简单的三角函数计算】

如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

问题：当t=1时，抛物线y=x²+bx+c经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=1/2∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．

2019宿迁中考（删减）

【特殊角的三角函数值】

如图，抛物线y=x²+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，-3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO．求点P的坐标；

2019盐城中考（删减）

【半角三角函数计算】

如图所示，二次函数y=k（x-1）²+2的图像与一次函数y=kx-k+2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k<0．

（1）求A、B两点的横坐标；

（2）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC=2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

2018本溪中考（删减）

【构造旋转得定角】

如图，抛物线y=ax²+2x+c（a<0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB=OC=3．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图2，点E的坐标为（0，-3/2），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2018河南中考（删减）

【构造等腰三角形】

如图，抛物线y=ax²+6x+cx轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．