「中考专题」 十五法破解二次函数中的倍角问题

【二次函数系列专题】

十五法破解二次函数中的倍角问题

一、问题呈现

如图，抛物线 y＝ax2＋6x＋c 交于 AB 两点，交 y 轴于点 C. 直线 y＝x－5 经过点 B、C.

(1)求抛物线的解析式.

(2)过点 A 的直线交直线 BC 于点 M.当 AM⊥BC 时，过抛物线上一动点 P (不与点 B，C 重合)，作直线 AM 的平行线交直线 BC于点Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标；

(3)连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点 M 的坐标.

二、问题解法

解析：

(1)由直线y＝x－5，易知B，C两点的坐标分别为：B(5，0) ，

C(0，－5)， 代入 y＝ax2＋6x＋c，得 a＝－1，b＝6，所以抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5；

( 2 )先由 y＝－x2＋6x－5，y＝0 时解，就是抛物线与 x 轴交点的横坐标，可得A(1，0)，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则 PQ//AM,且PQ=AM，即 A、P 两点到直线 y＝x－5 的距离相等，过 A、P 两点作 x 轴的垂线，分别与直线 y＝x－5 交于 E、F 两点，则可知

三、问题解法

【分析】要解决此问，应先通过作图得出点M的位置，如图 1，连接AC,作出AC的垂直平分线，与BC交于M，再以A为圆心，以AM为半径画圆，与直线BC的另一交点为第二个符合题意的M.

方法1：

方法2：

方法3：

可得关于 x 的方程，解出 M 的横坐标，然后再求出另一个符合题意的 M.

方法4：

如图4，作出AB的垂直平分线与AC的垂直平分线交于一点N， 则N是△ABC 的外心，

方法5：

方法6：

方法7：

如图7，一线三直角相似后，得F点的坐标，再由M是CF的的中点，得M坐标.

方法8：

如图8，一线三直角全等后，得N(6，-1)，得AN的解析式，然后联立BC的解析式得F点，再求M.

方法9：

方法10：

方法11:

方法12：

方法13：

构造一线三等角，如图13，NM=5k+4-12k=4-7k,

方法14：

方法15：

总结：确定分析、解析几何、解三角形、定角位置定对定边的理，二倍角的处理.

五、二倍角处理策略

一.由“倍”造“半”

已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.

二.由“半”造“倍”

已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.

三．一些特殊的角度

1.由特殊角30º求tan15º的值

如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，

2.由特殊角45º求tan22.5º的值