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前面文章中已经多次介绍其它地区的相似三角形存在性问题。因此此类问题还算高频考点。本文内容选自2020年铜仁中考数学压轴题。涉及三角形面积的最大值与相似三角形的存在性问题。比较典型、基础。值得研究。
【中考真题】
(2020·铜仁市)如图,已知抛物线经过两点,,是抛物线与轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设的面积为,求关于的函数表达式(指出自变量的取值范围)和的最大值;(3)点在抛物线上运动,点在轴上运动,是否存在点、点使得,且与相似,如果存在,请求出点和点的坐标.
【分析】题(1)求解析式,直接代入即可。题(2)本质是面积问题,利用割补法或者直接求都可以。题(3)是相似三角形的存在性问题,每年出现的频率还是比较高。其中一个三角形的形状是固定的,另一个三角形有两个动点。不过由于∠CMN=90°,那么情况只有两种,也就是N在CM的上方或下方。先画出草图,然后再利用对应边的比值,列等量关系即可。【答案】解:(1)将、代入,得:,解得:,抛物线的解析式为.(2)过点作轴,交于点,如图1所示.
当时,,点的坐标为.设直线的解析式为,将、代入,得:,解得:,直线的解析式为.点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,点的坐标为,则点的坐标为,,,当时,面积取最大值,最大值为.点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,$\therefore 0<m<3$.综上所述,关于的函数表达式为,的最大值为.(3)存在点、点使得,且与相似.如图2,,当点位于点上方,过点作轴于点,</m<3$.
,,,若与相似,则与相似,设,,,,当时,,,解得,,,此时,,当时,,,解得,,,此时.如图3,当点位于点的下方,
过点作轴于点,设,,,,同理可得:或,与相似,解得或,,或,此时点坐标为或.综合以上得,存在,或,,或,,或,,使得,且与相似.
来自: Hi老刘老师 > 《初中数学》
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