数学入门、进阶、专业书籍，看这篇就够了！

刚开始的时候，感受到对数学的兴趣，了解数学的逻辑之美和应用之广是最重要的！

但是有一点需要提醒的就是，如要考虑将数学科研作为职业的话，这需要慎之又慎！

数学虽然美但科研很艰难，几乎是这个世界最难的事情之一。

如果为了一个物质上的美好生活，可以考虑以数学为基础去学其它专业——因为一个人的兴趣往往不止一个。

下面我从几个不同角度来讲讲大学数学课程与相应的教材。

数学入门

课程：数学分析与高等代数

对于从中学数学到高阶数学的过渡，最基础也是最重要的是两门课程: 数学分析与高等代数，非数学系的叫它们高等数学和线性代数。

这两门课前者主题是微积分，处理函数的性质与各种度量，后者是矩阵，处理高维的世界。

这两门课在全世界的大学都教，而且从数学素材的角度来说都大同小异。在中国，数学系和非数学系的内容差别很大，主要体现在教材和授课方式上。

前者要求严格，注重数学思想，后者更多注重计算和应用。美国经过几十年的大学数学教育改革后，在这方面做得很好，尤其是数学分析课。他们的做法更倾向于将课程设置为I, II, III 这样，比如数学分析，所有专业都学Calculus I, 然后感兴趣的和数学系的学 Calculus II，Calculus III.这样做的一个直接结果就是广大理工科或金融等非数学系的数学基础很好，而且也很容易往高阶发展。因此中国的大学毕业生跟美国相比，不说整体水平，我们说各自水平的波动程度，中国的要大很多。即我们的学生好的很好，差的很差，而美国的数学系与非数学系的数学水平差别没那么大。

教材：这两个课教材非常丰富，有大量的优秀教材。

数学分析

1.首推华东师范大学数学系编的；

2.国外的可以看MIT教授Gilbert Strang写的Calculus，推荐的主要理由是作者教学经验丰富而且视频和电子教材都很容易获得，详见MIT的公开课官网。

高等代数

这门课教材的差别相对较小一些。

1. 丘维声，高等代数，网上也有视频资源；

2. 郭聿琦等，线性代数导引；

3. Gilbert Strang, linear algebra, 就是上面那个MIT教授，视频资料也很丰富。

数学之美

课程：点集拓扑与抽象代数

如果要感受数学之美，要求就更高一点，对于本科生而言，如果每个数学课程都能认真思考，不断问下去，你都会发现数学之美。但是有两门课程能很突出的体现数学之美，因此我单独讲一下: 点集拓扑与抽象代数。

这两门课最大的共同点就是：公理化。整个课只从最基本的几条公理出发就生长出了整本书！因此是本科数学中最能反映数学之美的逻辑深度的课程。

教材：

1. 点集拓扑讲义，熊金城；

2. 代数学引论，丁石孙等；

2. 近世代数，杨子胥，这本书胜在素材安排合理，通俗易懂；

4. algebra, S.Lang;

5. Topology, James Munkres;

数学之用

课程：数学分析，高等代数，微分方程，偏微分方程，

概率与统计，随机过程，随机微分方程等

数学是完美的，在逻辑上正确的东西就不需要其它的东西来验证或者佐证它。而现实世界就不同了，连最接近数学的物理也是需要实验的。

数学分析主要讲微积分和函数，而高等代数讲矩阵，处理高维或者多元问题。因此几乎任何一个严肃的现实问题都会用到这两门课的基础知识，比如现在很热门的人工智能的一个主要工具是深度学习，它的基础就是矩阵和求导。因此任何一本深度学习的书，都要花很大篇幅讲线性代数和多元求导。

接下来，在现实世界中非常有用的是微分方程，偏微分方程等分析类课程，比如我们的航空航天或者造原子弹这种高大上事业，其中很重要的一部分就是力学的数学模型研究，很多东西最终都归结为一大堆偏微分方程。

另一大方面体现数学的应用的是，跟概率有关的东西。起源于赌博的概率论，在上世纪完成公理化后已经走得非常远了。随机本身是一件很不好理解的事情，概率论的公理化本身就是数学之美与数学之用的最典型最完美的例子之一。最典型的应用就是在金融市场上的应用，比如期权的black-scholes定价公式等用到了随机微分方程。至于这些课的教材，我就不再推荐了，因为实在太多了。而且他们都是高阶课程，一旦你走到那里的时候，我想你自己心中也许就已经有答案了。

其实，以上这些课几乎就涵盖了数学系本科的大多数了。

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