一、可分离变量的微分方程及其求解方法 第二步:对左右两端函数分离变量,如果可以拆分为形式 或者左右两端函数直接只包含一个变量,则该微分方程为可分离变量的微分方程;如果不具有这样的结构,则该微分方程不直接具有可分离变量的微分方程结构. 第三步:对于可分离变量的微分方程,通过乘除项的方法,可转换为 二、齐次方程及其求解方法 齐次方程(所谓齐次,各项次数相同)是指具有如下结构的方程 即右端项可以写成y/x的函数. 它的求解思路为换元转换为可分离变量的微分方程求解,即令 代入原方程即将原方程转换为可分离变量的微分方程,所以它其实也是一类可分离变量的微分方程. 三、微分方程建模的思路与步骤 第二步:确定与未知函数的变化率有关的规律及定律; 第三步:依据规律直接写出变化率与自变量、位置函数之间的关系,即微分方程模型(微分方程表达式); 第四步:设定初始状态,确定初值条件; 第五步:改写模型,将其化为标准形式的方程结构,求解初值问题。 第一步:确定自变量x与最终因变量y; 第二步:构建最终变量的变化区间,任取区间内点x,考虑增量dx,计算区间当自变量从x变化到x+dx时引起的因变量增量dy; 第三步:构建dx与dy之间的关系,即得到一阶微分方程模型; 第四步:根据已知条件,确定初值条件,即当自变量x取某个值时因变量的取值; 第五步:求一阶微分方程的通解,并由初值条件确定任意常数. 参考课件 【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文,或者通过公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项,在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表! |
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