【原】你看，那座桥是不是还可以再拆几根梁？

  作为新世纪的人，怎么能满足于会求解简单桁架问题？面对平面复杂桁架无从下手？本文教你Henneberg法，让你遇到复杂桁架时也能从容应对！

让我们先回顾一下平面简单桁架的要求：

1. 杆件间用光滑铰链连接。
2. 桁架所受的力均作用于节点，且在桁架所在平面之内。
3. 桁架本身重量不计，或平均分配在杆两端的节点上。
4. 桁架以三角形框架为基础，每增加一个节点需要增加两根杆件。

  而对于平面复杂桁架而言，是不需要满足第四点的。一旦框架不以三角形为基础，那么无论是画麦克斯韦图时的分区还是虚位移的计算都会存在极大的困难。在这种情况下，就可以运用Henneberg法[1]。

  与之前一样，我们通过一道例题来讲此方法。

例：下图中正三角形ABC边长为，正三角形DEF边长为。两三角形中心重合，且EF平行于AB。绿色箭头表示大小为20N的力，求图中9根杆中的力。

题图

解：Henneberg法实际上是一种叠加的方法，将复杂桁架问题简化为简单桁架问题。这与受力平衡的方程都是线性方程有着密不可分的关系。观察题图，容易发现图中结构有多个四边形框。可见这是一个复杂桁架。不妨将其变化为下图所示情形。

解图1

  上图中，我们拆除了杆BD，增添了红色的AE杆。解题的思路是，先求出此时系统力的分布。再叠加这样一个分布：没有绿色的外力，而是有BD间的张力。当这两个分布叠加后使得红色的AE杆上力为0时，这就是待求的实际分布。必须指出，上面我们选的替代方案只是一种方案。这样的化简方案不是唯一的。为求出解图1中力的分布，我们可以综合采取多种方法。

  下面直接给出计算结果。读者可以根据自己实际情况进行练习或是直接查看结果。

• 首先运用整体法，容易求出A、B处均受向上的大小的支持力。
• 再运用节点法分析D点，容易得到杆DE与杆DF上均有大小为的压力。
• 分析节点B。为使B竖直方向受力平衡，BC杆上必有大小为的压力。再为使B节点水平方向受力平衡，AB杆上必须有大小为的张力。
• 可以利用力矩平衡计算出CE上张力大小为。
• AF杆上力的大小也可以通过力矩平衡计算，结果也为，为压力。
• 对节点C受力分析，得AC杆上有压力。
• 对节点F受力分析，得EF杆上有张力。
• 再对节点E受力分析。得到AE杆上张力大小为。

接下来进行第二步。即在BD间施加力的作用，模拟BF杆。不妨设压力大小为。

解图2

下面我们需要求上图中桁架内力的分布。读者同样可以选择进行练习或是直接查看计算结果。

• 由于B、D两点受力等大反向且作用线重合，故A、B两点都不受地面作用。
• 分析Ｂ点的受力并绘制力的矢量三角形，易得AB上张力大小为，BC上张力大小为。
• 分别对E、F、A点用力矩平衡，可以求出DF杆上张力为，DE杆上压力为，CE杆上压力为。
• 分析F点的受力并绘制力的矢量三角形，易得EF上压力大小为，AF上张力大小为。
• 对C点进行受力分析。求得AC杆上张力的大小为。
• 最后再对A点进行受力分析，求出AE杆受压力。

将两次计算的分布进行叠加可得：

令

解得

代入式得：

  Henneberg法为解决复杂桁架问题提供了一个切实可行的突破口。本题中，Henneberg法的使用将一个复杂桁架问题转化成了两个简单桁架问题，使我们顺利解出了题目。由于在拆除、补充杆件时存在较大的任意性，使得解题者有很多种方案可选，不好的方案会使问题变得很复杂。由于本题计算过程较前两篇文章的例题复杂了许多，笔者也不敢保证计算的准确性。若读者发现错误还望及时指出。  

  封面图为南京长江大桥。南京长江大桥位于南京市鼓楼区下关和浦口区桥北之间，是长江上第一座由中国自行设计和建造的双层式铁路、公路两用桥梁，在中国桥梁史和世界桥梁史上具有重要意义，是中国经济建设的重要成就、中国桥梁建设的重要里程碑，具有极大的经济意义、政治意义和战略意义，有“争气桥”之称。它不仅是新中国技术成就与现代化的象征，更承载了中国几代人的特殊情感与记忆。[2]

[1]

Theory of Structures，S.P.Timishenko, D.H.Young: 2.8节

[2]

百度百科-南京长江大桥: https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%97%E4%BA%AC%E9%95%BF%E6%B1%9F%E5%A4%A7%E6%A1%A5/1070999?fr=aladdin

欢迎阅读本系列前两篇文章

你看，那座桥是不是可以再拆几根梁？

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