中考数学压轴题分析：直角的存在性问题

本文内容选自2020年咸宁中考数学压轴题，涉及动点产生的直角个数问题。本质上就是直角三角形的存在性问题。而且角度是固定的，分类情况就只有一种。

【中考真题】

（2020·咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过点且与直线相交于另一点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的一动点，当时，求点的坐标；
（3）点，在轴的正半轴上，点是轴正半轴上的一动点，且满足．
①求与之间的函数关系式；
②当在什么范围时，符合条件的点的个数有2个？

【分析】 

题（1）直接代入点B与点C的坐标即可得到抛物线的解析式。
题（2）条件中是两个角相等，而∠BAO的大小固定，且有一边在x轴上面。因此只需设点P的坐标，分别过点P和B作x轴的垂线，利用三角函数或相似得到比值即可。

由于点的坐标都是确定的，因此也可以直接求出AB的解析式及其关于x轴对称的直线解析式，然后即可得到点P的坐标。

题（3）①构造三垂直，得到线段的比例关系即可。

题（3）②本质上是圆与直线相切问题。当N点只有两个时，说明△MNC的外接圆与x轴有2个交点。
【答案】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，则点、的坐标分别为、，
将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：①；

（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，则，

设直线<span role="presentation" data-formula="AB" '="" data-formula-type="inline-equation">的解析式为，
，
，
直线的表达式为：②，
联立①②并解得：或，
故点的坐标为或，
当点与，重合时，也满足条件，此时或，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或，．
（3）①过点作轴于点，

，
，
又，
，
，即，即，
解得：；

②，
，故有最大值，当时，的最大值为，
而，
故时，符合条件的点的个数有2个．