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《小学数学奥数系列培训教材》希思罗国际教育策划出品 授权： 金钥匙培训学校 量子优学 常青藤(英语)教育 麒麟教育 雪地翻译社 使用 内训资料 Edited by Mr. Quantum 适用对象：小学3年级及以上水平 一、除法运算介绍 除法是四则运算中最难计算的运算规则。在古代进行分配物品时候，因为比较难分，往往很多人一起讨论，商量以后才能基本合理，所以后来就把除法最后得到的结果，称作为“商”。 除法和乘法有着非常密切的关系，除法是乘法的还原，是乘法的逆运算，是已经知道两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。 在除法学习中，同样不会一帆风顺，同样会遇到各种各样的困难，如果你做除法时候，不但算不快，还常常出现错误。你是甘拜下风，还是振奋精神，努力弄懂了？ 然而有人站出来说：除数是3、7、9、11、99……并不难，甚至比这些数的倍数，也更容易。 不信吗？ 就往下看吧，说不定你学过本章后发现更容易的除法计算文章来自于：技巧了！ 二、除法的定位法 【重点点拨】 在一个除法的算式里，商的定位非常重要，不管你计算的有多么准确，如果整数的定位搞错的话，那也将前功尽弃。商的定位法共有两种！ (一) 直减法🔥 在一个除法算式里，当被除数的首位数小于除数的首位数时，商的整数位数，应当是被除数的整数位数，减去除数的整数位数。 公式： J＝B－C J代表商的整数位数。 B代表被除数的整数位数 C代表除数的整数位数 【例题解析】 例题一：计算 2635÷329 解析：被除数2632的首位数是2，小于除数329的首位数3，所以商的整数位数应当是被除数的整数位数减去除数的整数位数。 【解题过程】 4位（2632）—3位（329）=1位 例题二：计算1548.2除24.8 解析：被除数1549.6的首位数1，小于除数24.8的首位数2，所以商的整数位数应当是被除数的整数位数减去除数的整数位数。 【解题过程】 4位（1584）—2位（24）=2位 (二) 加1法🔥 在一个除法算式里，如果被除数的首位数大于除数的首位数时，商的整数位数，应当是被除数的整数位数，减去除数的整数位数后再加1. 公式：j=b-c+1位 J代表商的整数位数。 B代表被除数的整数位数 C代表除数的整数位数 【例题解析】 例题一：计算756除27 解析：被除数756的首位数7大于除数27的首位数2，所以商的整数位数应当是被除数的整数位数，减去除数的整数位数后再加1位。 【解题过程】3位（756）—2位（27）=2位 例题二：计算9357.5除75.6 解析：被除数9357.5的首位数9.大于除数75,6的，首位数7，所以商的整数位数应当是被除数的整数位数，减去除数的整数位数后再加一位。 【解题过程】4位（9375）—2位（75）+1位=3位 好了，今天的第一节除法速算技巧就到这里了，我们下一节见。下边几道题拿去练一练。 三、单数一口清除法 👍除数是2的速算 【重点点拨】 乘法和除法存在着千丝万缕的联系，利用乘法的进位规律计算除法，就是个很好的例子，任意数除以一位数，如果除不尽有余数，就利用前边学过的乘法单数一口清中，各个数字的进位律，来计算剩下的那个余数，那就再简单不过了。 比如：2的乘法一口清中，进位口诀有一句：满5进一，这是因为1除2=0.5，翻过来，任意整数除以2，如果除不尽，剩下的余数肯定是1，连想都别想，小数点后边加上一个5就是其“商”。 【例题解析】 例题一：计算：13÷2 解析根据2的乘法一口清中，进位口诀只有一句，满5进1， 那是因为：1÷2=0.5 翻过来，任何自然数除以2，如果不能被整除，余下的数只能是1，那么小数点后边肯定是0.5 【解题过程】 13÷2 =6余1 =6.5 例题二：计算 27.5÷2 解析：如果有小数时除以2，先按整数进行计算，然后根据除法定位法，加上小数点就可以了。 【解题过程】27.5÷2 =137……余1 =13.75 下边的题目记得拿去练一练，只有常练，才能更好地掌握！ 👍除数是3的速算 【例题解析】 例题一：计算 19÷3 解析：根据3的乘法单数一口清中，进位口诀有两句，“超三进一和超六进二” 那是因为：1÷3=0.333……=0.3 2÷3=0.666……=0.6 翻过来，任何整数除以3，不能被整除时，若余数是1，小数点后边肯定是0.3，若余数是2，小数点后边肯定是0.6！ 【解题过程】20÷3 =6……余2 =6.6 例题二：计算 164÷24 解析：若除数是3的若干倍数，则可以先把这个除数进行分解后，再进行计算。 【解题过程】164÷24=164÷（8×3） =164÷8÷3 =20.5÷3 =6.8……余0.1 =6.83 👍除数是四4的速算 【例题解析】 例题一：计算 17÷4 解析：根据4的乘法单数一口清中，进位口诀有三句：满25进一，满5进2，满75进3。 那是因为：1除4=0.25 2除4=0,5 3除4=0.75 翻过来任何整数除以4，如果不能被整除，若余数是1，小数点后边肯定是0.25，若余数是2，小数点后边，肯定是0.5，若余数是3，小数点后边肯定是0.75. 【解题过程】17÷4=4……余1 =4.25 例题二：34÷4=8……余2 =8.5 例题三：39÷4=9……余3 =9.75 只要是乘法的单数一口清学得好，每个数的进位记得清楚。除数是任意一位数时候，如果有余数，根本不用除法，一看就知道小数点后边的数字应该是多少了！ 👍除数是5的速算 【重点点拨】 在一个除法算式里，如果除数是5,25,125,625或者15、35、45、75、375等，有一个很简单的计算方法，可以直接写出得数。 🔥以乘法代除法🔥这是根据除法的扩缩法(💥被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，其商不变💥)的原理进行计算的。 【例题解析】 例题一：计算 29÷5 根据被除数和除数同时扩大相同的倍数，其商不变的原理，只要把被除数29和除数5同时扩大两倍，再把小数点向左移动一位，便是其商。 【解题过程】29÷5=（29×2）÷（5×2） =58÷10 =5.8 例题二：137÷5=（137×2）÷（5×2） =274÷10 =27.4 下边的题目练一练吧 👍除数是6的速算 【例题解析】 例题一：计算文章来自于：13÷6 解析：根据6的乘法单数数一口清中，进位口诀有5句：超16进1，超3进2，超5进3，超6进4，超83进5. 那是因为： 翻过来，任何正数除以6，如果不能被整除，有余数： 若余数是1，小数点后边肯定是0.16 若余数是2，小数点后边肯定是0.3 若余数是3，小数点后边肯定是0.5 若余数是4，小数点后边肯定是0.6 若余数是5，小数点后边肯定是0.83 【解题过程】 例题一 13÷6=……余1 =2.16 例题二 26÷6=4……余2 =4.3 例题三 33÷6=5……余3 =5.5 例题四 40÷6=6……余4 =6.6 例题五 47÷6=7……余5 =7.83 是不是除法速算技巧也很有趣啊，是的，往下看吧！ 👍除数是7的速算 【例题解析】 例题一：计算 15÷7 解析：根据7的乘法单数一口清中的进位口诀有六句： 那是因为： 所以翻过来，任何正数除以7，如果不能被整除，有余数。 若余数是6，小数点后边肯定是0.857142 【解题过程】 例题一：计算 15÷7=2……余1 =2.142857 不管除以几，如果小数点后边位数比较多，可以根据计算要求的精确度，或要求的保留位数，用四舍五入的方法来决定。下边来试试你的身手吧。 👍除数是八的速算 例题一：计算 17÷8 【解析】根据8的乘法单数一口清中的进位口诀有7句： 满125进1 满25进2 满375进3 满5进4 满625进5 满75进4 满875进7 那是因为： 1÷8=0.125 2÷8=0.25 3÷8=0.375 4÷8=0.5 5÷8=0.625 6÷8=0.75 7÷8=0.875 所以翻过来，任何整数除以8，如果不能被整除，有余数 若有余数是1，小数点后边肯定是0.125 若有余数是2，小数点后边肯定是0.25 若有余数是3，小数点后边肯定是0.375 若有余数是4，小数点后边肯定是0.5 若有余数是5，小数点后边肯定是0.625 若有余数是6，小数点后边肯定是0.75 若有余数是7，小数点后边肯定是0.875 【解题过程】17÷8=2……余1 =2.125 例题二：26÷8=3……余2 =3.25 好了今天的课程就到这里了，我们下节再见。记得不要把前边学得忘记哦 👍除法是9的速算 【例题解析】 例题一：计算 19÷9 解析；9的乘法单数一口清的进位口诀是超几进几， 那是因为: 所以翻过来，任何正数除以9，如果不能被整除，有余数。 若余数是1，小数点后边肯定是0.1 若余数是2，小数点后边肯定是0.2 若余数是3，小数点后边肯定是0.3 若余数是4，小数点后边肯定是0.4 若余数是5，小数点后边肯定是0.5 若余数是6，小数点后边肯定是0.6 【解题过程】19÷2=2……余1 =2.1 好了今天的课程就到这里了，下边的几道练习题一定要拿去试试。 四、特殊数除法举例 👍除数是99的速算 【重点点拨】 首先我们来看看下列的算式 从以上算式中的规律不难看出，任何数除以99，如果除不尽有余数，商的小数部分就是这个余数乘以0.01的积！ 【例题解析】 例题一，计算 135÷99 解析；先把被除数135被99整除的部分和余数分解开，变成99加36，然后用36乘以0.01的积，与商的整数相加，便是全商。 【解题过程】 135÷99=（99＋36）÷99 =99÷99＋36÷99 =1＋0.36 =1.36 例题二：计算 1662÷99 【解题过程】 1662÷99=（1584＋78）÷99 =1584÷99＋78÷99 =16＋78÷0.01 =16＋0.78 =16.78 练一练 👍除数是11的速算 【重点点拨】 我们先看看下列的算式 由以上算式大的规律不难看出，任何数除以11如果除不尽，有余数，商的小数部分就是这个余数×0.09 【例题解析】 例题一：计算 47÷11 解析：先把被除数47能被11整除的，部分和余数分解开，变成44加3，然后用余数乘以0.09，的积与商的整数4相加，便是全商。 【解题过程】 47÷11=（44+3）÷11 = 44÷11＋3÷11 = 4＋0.27 ＝4.27 练一练 👍除数是25的速算 【例题解析】 例题一；计算 24÷25 解析；根据被除数和除数同时扩大相同的倍数，其商不变的原理，只要把被除数24和除数25同时扩大4被，再把小数点向左移两位，便是其商。 【解题过程】24÷25=（24×4）÷（25×4） = 96÷100 = 0.96 例题二 计算 589÷25=（589×4）÷（25×4） =2356÷100 =23.56 练一练吧 👍除数是75的速算 【例题解析】 例题一：计算 1425÷75 解析：根据被除数和除数同时扩大相同的倍数，其商不变的原理，只要把被除数1425和除数75同时扩大4被，再相除，便是其商。 【解题过程】1425÷75=（1425×4）÷（75×4） =5700÷300 =19 例题二：计算 1975÷75 解析：如果被除数1975和除数75同时扩大四倍，相除以后，若余数是1，小数点后边肯定是0.3，若余数是2，小数点后边肯定是0.6，因为除数变成了3 【解题过程】 1975÷75=（1975×4）÷（75×4） = 7900÷300 = 26.3 下边的几道题拿去练一练吧！ 👍除数是125的速算 【例题解析】 例题一：计算 89÷125 解析：根据被除数和除数同时扩大相同的倍数，其商不变的道理，只要把被除数89和除数125同时扩大8倍，再把小数点向左移3位，便是其商！ 【解题过程】89÷125=（89×8）÷（125×8） =712÷1000 =0.712 例题二：计算 563÷125=（563×8）÷（125×8） =4504÷1000 =4.504 练一练吧 👍除数是375的速算 【例题解析】 例题一：计算 6750÷375 解析：根据被除数和除数同时扩大相同的倍数，其商不变的道理，只要把被除数和除数同时扩大8倍，再相除，便是其商， 【解题过程】 6750÷375=（6750×8）÷（375×8） = 54000÷3000 = 18 例题二 4725÷375=（4725×8）÷（375×8） = 37800÷3000 = 12.6 练一练 👍除数是625的速算 【例题解析】 例题一；计算 6÷625 解析：根据被除数和除数同时扩大相同的倍数，其商不变的原理，只要把被除数6和除数625同时扩大16倍，再把小数点向左移4位，便是其商！ 【解题过程】 6÷625=（6×16）÷（625×16） =96÷10000 =0.0096 例题二 14÷625=（14×16）÷（625×16） = 224÷10000 = 0.0224 练一练 五、补数除法 【重点点拨】 如果除数接近整千或整万时候，用补数除法，其商就非常简单，具体步骤如下。 👍1 用除数的补数与被除数相乘的积。向右移位在被除数下面，除数是几位数就向被除数的右边移动几位。 商要求的精确度如果比较高，用上一个补数乘以被除数的积，再与补数相乘，所得之积，向右再移位写在上一个乘积的下面，以此类推！ 被除数与几个“乘积”相加之后所得的和，根据除法定位法加上小数点，再四舍五入。便是其商！ 【例题解析】 例题一：计算 1264÷998 解析：1，用除数的998的补数2，与被除数1264相乘，积为2528，因为除数是三位数，应向被除数右边移动三位，积2528顺序写在下边。 2.用上个补数与被除数的积2528，再与补数2相乘，积为5056，再向右移动三位，写在上一个乘积2528的下边。 3.被除数1264和两个数乘积2528、5056移位相加后，根据除法定位法，商的整数应是一位，商要求精确到小数点后边的四位数，其商便是1.2665。 【解题过程】 例题二：计算26745除9997 解析；1,。用除数的9997的补数3，与被除数26745相乘，积为80235，因为除数是三四位数，应向被除数右边移动四位，积80235顺序写在下边。 2.用上个补数与被除数的积80235，再与补数23相乘，积为240705，再向右移动三位，写在上一个乘积80235的下边。 3.被除数26745和两个数乘积80235、240705移位相加后，根据除法定位法，商的整数应是一位，商要求精确到小数点后边的七位数，其商便是2.6735026 【解题过程】 好了我们的神童心算课程速算除法就到这里了哦，希望大家学完之后，有一定的收获。 |
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