平行四边形的存在性问题是比较老的问题了，但是每年还是会层出不穷。特别是本文这种“两定两动”型的问题。本文内容选自2020年广西玉林市中考数学压轴题，难度不大。不过涉及抛物线的平移，还是比较抽象的。
【中考真题】
（2020·玉林）如图，已知抛物线：与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）将抛物线经过向右与向下平移，使得到的抛物线与轴交于，在的右侧），顶点的对应点为点，求点<span role="presentation" data-formula="B" '="" data-formula-type="inline-equation">的坐标及抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点在轴上，则在抛物线或上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】
题（1）求点坐标，只需令x或y=0代入即可。
题（2）由于平移过程中抛物线的形状大小不变，即a不变。那么就可以设出平移后的抛物线的解析式，然后把点B的坐标代入。因此只有一个系数待定。那么表示出点B′的坐标即顶点D′的坐标。由于∠BD′B′=90°，那么就可以得到△BD′B′为等腰直角三角形，利用斜边中线等于斜边的一半即可得到建立等量关系求出参数。
题（3）是典型的“两定两动”类型的平行四边形存在性问题。解法比较多样，可以用中点坐标公式，坐标表示平移的方法。当然，也可以直接过点C作x轴的平行线，以及过点C关于x轴对称的点C′作x轴的平行线，然后找到它们与抛物线的交点即可。除此之外还需要讨论B′C为对角线的这种情况。
【答案】解：（1）对于，令，得到，解得或1，
，，
令，得到，
．
（2）设平移后的抛物线的解析式为，
如图1中，过点作于，连接．
是抛物线的顶点，
，，
，，
，
，
，
又，经过，
，
解得或1（不合题意舍弃），，
，．
（3）如图2中，
观察图象可知，当点的纵坐标为3或时，存在满足条件的平行四边形．
对于，令，，解得或，可得，
令，则，解得，可得，，，，
对于，令，方程无解，
令，则，解得或4，可得，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或，或，或或．
