中考数学压轴题分析：平行四边形的存在性问题与相似三角形的存在性问题

一个大风子 2022-03-08

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本文内容选自2021年黔东南中考数学压轴题。以二次函数为背景，考查平行四边形的存在性问题与相似三角形的存在性问题。此类问题比较经典，也是常考问题。

【中考真题】

（2021·黔东南州）如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）待定系数法，代入点坐标进行秋求解。

（2）因为限定了BC为边，所以就只有两种情况，可以用平移法、中点坐标公式法，也可以用几何法等建立等量关系求出坐标即可。难度不大。

（3）因为△BCD的形状大小是确定的，可以发现△BCD为直角三角形。那么根据对应边成比例进行分类讨论即可得到结论。

【答案】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入中，得：，解得，
∴抛物线得函数关系为；

（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x1，
故设点P（1，m），
设点Q（x，0），
当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，
点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q（P），
则，

解得，
故点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；

（3）当y＝0时，，解得：，
∴A（﹣1，0），
又，
∴抛物线得顶点D得坐标为（1，﹣4），
∵C（0，﹣3）、B（3，0）、D（1，﹣4），
∴，
∴，
∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，
设点M得坐标（m，0），则点G得坐标为，
根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，
∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件：，
①当m＜﹣1时，此时有：，
解得：，，都不符合m＜﹣1，所以m＜﹣1时无解；
②当﹣1＜m≤3时，此时有：，
解得：，（不符合要求，舍去），
∴M（）或M（0，0），
③当m＞3时，此时有：或，
解得：（不符合要求，舍去）或（不符要求，舍去），
∴点M（6，0）或，
答：存在点M，使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M的坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．