中考热点问题解题集--二次函数压轴题（最值、路径、存在性问题）

WINTER

《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。

今日研题 

【题目编号2021014】如图1，已知抛物线y=-x²+3/2x+1与x轴交于A和B两点，(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)点C的坐标是_______,点B的坐标是_______;

(2)M为线段BC上方抛物线上一动点，连接MC、MB，求△MBC面积的最大值，并求出此时M的坐标；

(3)如图2，T为线段CB上一动点，将△OCT沿OT翻折得到△OC'T，当△OC'T与△OBC的重叠部分为直角三角形时，求BT的长;

(4)如图3，动点P从点O出发沿x轴向B运动，过点P作CP的垂线交CB于D.点P从O运动到B的过程中，点D运动所经过的路径总长等于______：

分析与解

PART-1

第（1）入口宽，直接送分，求抛物线与x轴的交点坐标，可令y=0，则-x²+3/2x+1=0,解之得x₁=2，x₂=-1/2，故A(-1/2,0)，B(2,0)

C是抛物线于y轴交点，令x=0，则y=1，所以C(0,1).

PART-2

法一：宽高公式

过M作y轴平行线，角BC于点N

由C(0,1)，B(2,0)，可求直线BC的解析式为：y=-1/2x+1，设点M(x, -x²+3/2x+1)，则点N(x, -1/2x+1)，于是MN=-x²+3/2x+1-(-1/2x+1)=-x²+2x，S_△BMC=1/2×2(-x²+2x)

=-x²+2x=-(x-1)²+1，所以：当x=1时，△BMC面积最大为1，此时M(1,3/2).

法二：割补法

连接OM，S_△CMB=S_△COM+S_△MOB-S_△COB

法三：相切法

过M作AB的平行线EF，当EF与抛物线只有一个公共点时，△CBM的面积最大。

PART-3

设OC'与BC交于点H，过T作TM⊥OC.

∠OHT=90°，易求OH=OM=2√5/5，而OC=1，所以CM=1-2√5/5，由三角比可求

CT=√5-2，则BT=√5-(√5-2)=2.

当∠OTH=90°时

此时点H在BC上，此时BT=4√5/5。

设TC'与OB交于点G，∠OGT=90°，如下图可求得BT=√5-1.

确定点C'的运动轨迹如下图

①当C’在绿色弧上时，OC'与BC相交，当OC'⊥BC时，重叠部分为直角三角形.

②C'落在BC上时，重叠部分为直角三角形；

③当C'落在红色弧上时，不存在直角三角形；

④当C'落在蓝色弧上时，TC'与BC相交，当TC'⊥BC时，重叠部分为直角三角形.

PART-4

当P点从O出发时，点D与点B重合，点P=开始运动时，点D沿BC方向运动，求D的运动路径长，需求出BD的最大值，BD取最大值时，CD就最小，以CD为直径的圆E，与OB相切时，此时CD取最小值。如下图，

设EP=r，根据△BEP与△BCO相似有：

由于点P是从O运动至B，故D的路径是往返型路径，则D的运动路径长为3√5-5。