【名师支招】如何迅速解决中考试题中的阿氏圆问题

近些年来，中考试题中出现了不少和阿氏圆有关的试题.有时出现在填空题中，有时也会出现在压轴题中.现在将我在解题过程中的心得整理一下，分享给各位，希望对大家有帮助.

阿波罗尼斯圆

已知平面上两点、，则所有满足的点的轨迹是一个以定比内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，故称阿氏圆.上图，如果那么点在以为直径的圆上.其中，点是线段的 内分点，点为线段的外分点.

• 先证明下图中是的平分线

  

作如下的辅助线：

由于，可得.
所以，是的平分线.

• 再证明下图中是的外角平分线

由于，可得.
所以，是的外角平分线.

可知，下图中的，所以点在以为直径的圆上.当
设，则，，

的半径为：.

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上面写得这行复杂，主要是说明当、确定的时候，的半径就是确定的.

在初中范围内，我们只要图中的点，也就是下图这个样子：

在这里，将上图的定义为线段的阿氏圆.
当时，圆心在线段偏一侧，且它的半径是由的大小决定的.
在这里，将点、点分别定义为圆外点、圆内点，将点定义为分点.

解决问题

例1
如图，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连结、，求的最小值.

从题目来看，暂时隐藏、,现在只知道圆外点，分点，要确定圆内点，使得，连结，那么必有.

 为什么？再看下图，可以验证啊!  

看看上图中主要线段的大小，是不是可以得出：
，相似比是?
所以.怎么这么巧的呢？
其实，没有办法不巧啊！
因为阿氏圆的半径，圆内、外点之间的距离以及比值之间的关系早就定下来了：

为了不来回翻屏，这里再显示一次.

上面的等式中有两个量确定，那么第三个量就确定了.只要找到点使.

此外应为.

总结：先确定已知条件中的圆外点、圆内点、分点哪两个点确定，再根据比例确定第三个点.然后就是用两点之间线段最短和勾股定理计算了.

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刚刚是找圆内点，现在再看一个找圆外点的问题：

例2
已知扇形中，，，，，点是上一点，求的最小值.

确定三个点：

再验证，

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再举一个作连接圆外点和圆心辅助线的例子
例3
已知的半径为，、为切线，、，为上的一动点，求的最小值.还是确定三个点：圆外点、圆内点、分点：

自行验证、

易得下图中、都是等腰直角三角形，、、三点一线，

总结

解此类题一般顺序是：

• 确定动点是不是在圆上运动；
• 确定圆内点、圆外点、分点；
• 根据比例确定要找的点；
• 再验证动点、圆心、圆内点构成的三角形与动点、圆心、圆外点构成的三角形是否相似；
• 根据两点之间线段最短用勾股定理计算最值．

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END