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定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 三点必有外接圆，对角互补也共圆。 有“圆”千里来相会， 无“圆”对面不相逢。 “圆”出“缘”生关系现， “圆”成“缘”通真相明。 圆是宇宙中最奇妙最完美的图形，大到星球、星系，小到细胞、原子，到处有它曼妙的身影。圆具有最美妙的对称性，圆中的相关元素会产生丰富的数量关系，可以帮助我们寻找各种联系。在数学问题中，如果你能慧眼识图，找出其中隐藏的辅助圆，则必事半而功倍，无往而不利。 1 定点 定长 1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。 2.应用： （1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。 简析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求BD=√15。 （2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是 . 简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为2√10。 （3）ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为 . 简析：先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：√2缩小即得O点路径。如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF FO=3√2。 此类问题详解参阅：  2 定线 定角 1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。 2.应用： （1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长. 简析：AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。
（2）如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为 .
简析：AB为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM MO=√3 1 √2。
相关阅读：难点突破：动点轨迹与路径最值综合题 （3）已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为_____．
简析：作ΔABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。
如下图，易得C点坐标为（0，2√2）或（0，-2√2）。
（4）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-3ax-4a的图象经过点C(0, 2),交轴于点A、B，(A点在点左侧),顶点为D. ①求抛物线的解析式及点A、B的坐标; ②将ΔABC沿直线BC对折,点A的对称点为A',试求A'的坐标; ③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
简析③：定线BC对定角∠BPC=∠BAC，则P点在以BC为弦的双弧上（关于BC对称），如下图所示。
 3 三点定圆 1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.应用： ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。
简析：作ΔABC的外接圆，如下图，易得AD=7 5=12。
4 四点共圆 1.依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。
2.应用： 如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。
简析：因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∼ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。
5 旋转生圆 1.如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为_____ 。
简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC，二是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下图。
2.如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'B'C的位置，则线段AB扫过区域的面积为_____。
简析：扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。
6 动圆综合 1.动圆 定弦：依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。 如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF分别交射线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为 .
简析：图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO＝5，当BO为直径时最小，所以EF最小为5.
2.动圆 定线：相切时为临界值。 如图, Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠ABC＝30°, AB＝6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、C重合), 且DA＝DE, 则AD的取值范围是 。
简析：因DA=DE，可以D点为圆心以DA为半径作圆，则圆D与BC相切时，半径DE最小。E向B点移动半径增大直至D到B处（不含B点），得2≤AD<3。
3.动弦 定角：圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小。 已知：△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，D、E分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，过E作EH⊥AB于H，EI⊥BC于I，连FG、HI， 求证：FG与HI的最小值相等。
简析：可以看HI何时最小，因B、H、E、I共圆，且弦HI所对圆周角一定，所以当此圆直径最小时弦HI最小，即当BE最小时，此时BE⊥AC，解△OHI可得HI的最小长度。同样可求FG的最小长度。 此题可归纳一般结论：当∠ABC=α，∠ACB=β，BC=m时，FG和HI的最小值均为m*sinα*sinβ。
学贵有悟： 直角三角形和等腰三角形是最基本最常用的几何图形，圆中两条半径和一条弦构成等腰三角形，一条直径和两条弦构成直角三角形，垂直于弦的直径又可以把一个等腰三角形分成两个全等的直角三角形，利用圆还能构造出全等三角形，因而仅用圆规和直尺可以作出各种复杂图形。圆中的边角有着丰富的数量关系，善作辅助圆对解题有着莫大的帮助！ 有词为证： 慧眼识图隐圆现，看似无圆却有圆。有圆好结缘，无圆难续缘，一圆沟通全图，歧路变坦途。解题善作辅助圆，无缘亦能化有缘。 7 小试牛刀 |
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