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如图，在凸四边形ABCD中，已知∠ABC+∠CDA=300°，AB·CD=BC·AD，证明：AB·CD=AC·BD； 这道题的突破点其实并不容易想到， 根据条件300°可以得到60°， 但这个60°明显是∠BCD+∠BAD的和， 所以首先两个角加起来才是60°， 而且这个60°能用来干嘛？ 两个方面的疑问，如果解决不了，那么这道题就不用说了。 既然我们知道了∠BCD+∠BAD=60°， 那么我们不妨就将它们放在一起， 如图，我们在点C处向上做一个60°的角， 同时为了让这个60°角具备最大用处，我们构造出一个等边三角形△CBE， 那么同时再连接DE， 这样一来，∠DCE=∠DAB， 虽然图上不太像，但是·····脑补吧 那么再看题干的第二个条件， AB·CD=BC·AD， 由于CE=BC， 所以可以变为AB·CD=CE·AD， 转换比例AB：CE=AD：CD， 邻边成比例，夹角相等， 所以△ECD∽△DAB 那么AB：CE=AD：CD=BD：DE， 同时∠CDE=∠ADB， 即AD：BD=CD：DE， 邻边成比例，夹角相等， 所以△EDB∽△CDA， 所以AD：BD=CD：DE=AC：BE=AC：BC ∴AD·BC=AC·BD 即AD·CE=AC·BD， 由于AB·CD=CE·AD， 所以AB·CD=AC·BD； 构造等边三角形的时候我们选择了顶点C，而且是向上构造，所以不排除顶点A处及其他辅助线构造方法 |
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