|
题目 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ABC=120°，AM、BN分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：AB+AN=AM+BM； 这道题老师也没做过，以前分享了很多道竞赛题了，所以书都翻了很久才翻到这一题，为什么选这道题？一些同学在遇到这种线段和的问题时可能会经常懵逼，不知道怎么让它们组合，尤其是八竿子打不着的两个线段，非要给它整到一块去，咋一看就是乱点鸳鸯谱呗。所以今天我们来学习这道题的解决方法。 该题建议九年级的同学学习，鉴于目前八年级同学的学习进度，可能很多教材版本都没有学到这道题需要用到的一些知识点，但是如果够聪明，也会想到将其转换到目前所学的知识运用上。 解析： 首先这道题只有两个角度和两条平分线，而且三角形也不是特殊三角形，而且让求和的线段更是拐弯抹角，但是，遇到线段和一定不要慌，这又不是让求最小值玩对称的，只是两组线段和相等的问题，很容易能想到拼接。关键问题来了，谁拼到哪里就是解决的方法了。 这个时候角度就要派上用场了，一个40°，一个120°，除了120°能够想到用补角兑换60°可等边，那个40°还真不容易利用。 那么不妨先观察一下AB+AN和AM+BM都是啥玩意吧 AB和AN共端点A， AM和BM共端点M， 可以联想如果将两组线段都进行旋转， 比如让AB和AN相反方向，AM和BM相反方向，就能凑出完整的线段来证明了 那么该如何让它们转到方向相反呢？ 刚好我们知道∠BAN是40°，而且还能计算出来∠AMB=40°， 所以AB旋转到与AN反向只需要顺时针转140°， BM旋转到与AM反向只需要逆时针转140°， 如此将结论中的两个线段和转变为两条直观的线段就会容易多了。 那么，思路清晰了，开始解决问题吧。 解答： 将AB绕点A顺时针旋转140°至AE，则A、E、N共线 将BM绕点M逆时针旋转140°至DM，则A、M、D共线 顺便连接BE和BD 则AB+AN=EN， AM+BM=AD 只要证明EN和AD相等即可； 然而两个线段的位置也是比较奇葩，所以直接证明好像不太容易，那么观察现在的图形，四边形EBDA很像是平行四边形吧 我们可以计算出∠E=20°，∠D=20°， 而∠BAE和∠DBE都可以通过计算得到是160°， 嘿嘿，两组对角分别相等的四边形不就是平行四边形吗？ 所以四边形EBDA是平行四边形， 则AD=EB， （如果是八年级的同学还没学到平行四边形，可以利用三角形全等解决） 现在只需要证明EB和EN相等即可， 刚好它们在同一个三角形中，如果是等腰就OK了 ∠EBN可以知道是20°+60°=80°， 同时∠E=20°， 所以∠ENB也是80°， 那么△EBN为等腰，即EB=EN 又AD=EB 所以AD=EN 同时又AD=AM+BM EN=AB+AN 所以AB+AN=AM+BM |
|
|
