【2021中考】一道相似压轴题解法微探

《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。

原题呈现

如图，等腰R△ABC中，∠ACB=90°，D为BC边上一点，连接AD.

(1)如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，

   求证：∠AEC=45°

(2)如图2，P为AD上一点，且∠BPD=45，连接CP.

①若AP=2，求△APC的面积；

②若AP=2BP，直接写出sin∠ACP的值为_______.

图文解析

NO.1

法一、共圆因为∠ACB=∠AEB=90°，故点A、C、E、B四边在同一个圆上，所以∠AEC=∠ABC=45°。

法二、构造旋转全等，过点C作CF⊥CE，易证△AFC≌△BEC，所以CF=CE，因为CF⊥CE，所以∠FCE=90°，所以∠AEC==45°。

NO.2

过点B作BF⊥AD延长线于点F，连接CF，过点C作CG⊥AF，易证△APB∽△CBF，所以AP:CF=AB:CB=√2，因为AP=2，所以CF=√2，由（1）知∠CFA=45°，所以CG=1，所以S_△APC=1.

NO.3

法一：构造旋转相似模型

法二：构一线三等角模型

如下图，过点P作MN∥AB，易证△AMP∽△PNB，通过相似进一步可证MP=4PN，接着解三角形可求sin∠ACP。

解

题

反

思

 本题的第（1）问由直角三角形共斜边，考虑共圆，利用同弧所对圆周角相等可证第∠AEC=45°，还可考虑构造旋转全等模型，利用全等可证△FCE为等腰直角三角形，进而得∠AEC=45°。

（2）中求△APC的面积，因为已知AP=2，故考虑求出AP边上的高，作垂直正好根据（1）中证得的∠AEC=45°，出现等腰直角三角形，AP边上的高为等腰直角三角形的直角边，根据旋转相似模型可以求出斜边，则问题得解。

问题（3）中，方法一依然是构造旋转相似，可以表示相关线段，求sin∠ACP的值，并没有用两边之比，而是借助于△ACP利用面积法（算两次）建立方程求解，计算比较简单些。

方法二是根据∠APB=135°，而∠CAB=∠ABC=45°，考虑构造“一线三等角”相似模型，通过相似三角形的性质，推理可得MP=4PN，而△AMN为等腰直角三角形，故其形状确定，设参解三角形即可求解，两种方法其中方法一计算稍显复杂，被开方数还含有根号，有些学生可能就此选择放弃。方法二通过相似求得MP=4PN，发现定形三角形，直接解三角形，计算显得比较简洁。