将军饮马问题我们比较熟悉了,也就是一条直线上一点到同侧两定点距离之和最小值的问题。 我们之前也求过胡不归与阿氏圆有关的最短路径问题,涉及系数不为1的情况。 今天再来介绍一种类似的问题: 【题目】 如图,在平面直角坐标系中,点A(0,1)在y轴上,点B的坐标为(3,2),在x轴上面确定一点P使得1/2AP+BP的值最小。 我们说的将军饮马问题PA与PB的系数都是为1的。那么现在系数不为1的时候怎么办呢? 如下图,以AP为边,构造直角三角形APC,使得PC=1/2AP,就把问题转化为了求PB+PC的最小值了。 但是点P运动的时候,点C的轨迹是怎样的呢? 观察上图,可以发现点P运动的时候,点C始终在一条直线上面运动。那怎么确定这条直线呢? 当点P与x轴重合时,点C(C')落在x轴上的C'处,易得△AC'C∽△AOP,可以得到∠AC'C=90°,所以点C已知在AC'的垂线上面运动,那求最短路径就不难了。 如上图,当点B、P、C三点共线时最短,此时点P的坐标是(2,0)。 当然,除了可以得到AP的一半,其实也可以将BP放大。相当于求“1/2AP+BP”的2倍的最小值,然后再除以2即可。 如图,以BP为边,构造直角三角形BPD,使得DP=2BP,那么求 1/2AP+BP 就转化为求 1/2(AP+2BP) 的最小值了,也就是求 AP+DP 的最小值。 那么可以发现点D的运动轨迹也是直线,当A、P、D共线时最小,点P的坐标依然是(2,0)。 其实此类问题和光行最短是类似的,可以把上面的问题看成光的折射问题。 当光由x轴上方的点B射入x轴下方时,可以假设两个区域是不同的介质,光的传播方向发生了变化。 光的折射是指光从一种介质斜射入另一种介质时,传播方向发生改变,从而使光线在不同介质的交界处发生偏折的现象。 相对折射率公式: 真空的折射率等于1,两种介质的折射率之比称为相对折射率。例如,第一介质的折射率为,第二介质的折射率为,则 称为第二介质对第一介质的相对折射率。某介质的折射率也是该介质对真空的相对折射率。于是折射定律可写成如下形式:
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