【原】用最低的姿态，说最流行的 “切线不等式”

酒戒斋 2021-06-02

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记忆中的切线不等式

切线不等式，对于很多同学来说，一定是很熟悉的吧？

但是，对于你来说，是不是也象大多数同学一样，只是记住了几个简单的结论而已？

就像是众所周知的：

当然，可能也还会有更多其它的。

比如：

可是，知道这么多，就真的认为有用了么？

答案是肯定的。

那就是——对很多同学来说，

这些结论，可能真的竟一无用处！

其实说真的，是不是在解题时，压根就没想到过切线不等式呢？

或者说，根本就是不知道，这个切线不等式，到底是用来干什么的吧！

如果真的是这样，归根结底的原因，当然是对其理论知识的理解还有欠缺了。

不得不说的凹凸性

要说切线不等式，不能不说说函数的凹凸性。

什么叫凹函数和凸函数呢？

为了说的更明白，还是直接上图比较好点。

其实，还是很容易从图像的形状上区分凸凹的，毕竟这个凸凹，与我们生活中的经验一样的形象。

那么，数学里，我们又怎么表达函数的这种凹凸性呢？

最简单、也是考题中最常出现的，是下面的这种形式：

凹函数：

凸函数：

其实，这样的表述，并不难理解，从图像上就可以很容易地看出来的，应当是正确的。

嗯，因为两个点的任意性，是不是就给人一种上凸或下凹的感觉了！

其实仔细回忆，这组结论，真的是在考题中经常出现的。

当然，我们还可以从切线的角度，去理解下函数的这种凹凸性。

还是先观察下图形的直观吧。

从图形中，你能看出点什么吗？

如果过曲线上某一动点做切线，当动点从左向右移动的过程中，切线斜率的变化是有规律的，而且因为凹凸性的不同，其规律也有所不同。

从左向右看：

凹函数，斜率一直在增加，

凸函数，斜率一直在减小。

从导数的几何意义我们还知道，切线的斜率是切点处的导数值。

因此，这种变化规律，还可以从导函数单调性的角度来刻画。

凹函数的导函数为增函数，

凸函数的导函数为减函数。

那么以后，我们就可以用导函数的导函数，也就是函数的二阶导数，来表达函数的凹凸性了。

而且你一定要知道的是，二阶导数，好像已经成为高考的常规要求了。

放缩法与凹凸性

现在，我们就可以谈谈，什么是切线不等式了。

其实，在不等式的证明中，有一种最常见的方法，那就是放缩法。

但是，又有多少人真心的喜欢这种方法呢！

这种方法虽常见，但对于许多同学来说，不是走投无路的时候，是绝不会主动招惹它的。

嗯，确实是因为，放缩的目标，实在是难以控制。

所以说放缩无定法嘛！

我们最喜欢通性通法的东西，无定法，注定只属于学霸专属。

但是，如果仔细研究下切线与曲线的位置关系，最算如我一样的非学霸，也还是可以找到丁点感觉的。

上面两幅图中，是不是能够让我们提炼点什么呢……

至于我的总结，是这个样子的：

其实我认为，上面这个，才是切线不等式真正的内涵。

那么，再深入一点，如果两条曲线有公切线呢？

无论是下面这种有公切点的公切线：

还是这种没有公切点的公切线：

其实都能得到相似的结论：

那么，根据不等式的传递性，我们就可以很轻松地得到：

那么问题就来了，这样的逻辑关系，又能说明什么呢？能不能在解题中让它得以体现？

切线不等式的应用

从上面的结论：

我们可以提炼出证明不等式的一种最常规的思路：

要证明：

可以考虑先证明：

也就是先考虑寻求一个中间量。

上面的结论告诉我们，如果不等式两边函数的凹凸性相反，这个中间量完全可以就是公切线了！

其实这也是放缩法的基本思路。

只是这里放缩的结果，我们指定，找的就是公切线了。

这样的思路，是不是也算一种，在凹凸性相反的条件下，证明函数不等式的通性通法呢！

也许这个，才是对切线不等式，最完美的理解吧。

下面，当然要写几道题，来刻意体验下这种切线不等式，在函数不等式证明中的应用了。

确实，解过程写完后，用画板做了个图发现，这两个函数还真的是有公切线的。

分析一：

一般而言，出现指、对数混合的式子，首先要考虑的应当是如何将指、对数统一化。

于是便有了第一种方法。

其实，从证明的结果来看，是不是也是利用了切线不等式呢？

当然，这是在统一化的过程中，偶然发现的结果。

分析二：

考虑到不等式左右两边所对应的函数为左凸右凹，故可考虑利用公切线进行放缩。

证明的过程虽然长了点，但好在分析的思路还是比较清晰的。

只是，对于不太清楚这种思路的同学来说，这个证明的一开始，可能就已经让他一脸懵逼，而生无可恋了。

分析三：

其实，这个不等式虽然是指、对数混合不等式，但好在对数的系数是不含变量的。

完全符合指数找朋友、对数单身狗的特征，当然是可以考虑直接构造函数，而转化为最值问题的。

所以便有了，最常规的比较构造法。

嗯，显然，虽然没有思路一统一化构造的思路巧妙，但依然是比思路二直接寻找切线放缩更简洁的。

这也提醒我们：

对数如果单身狗，指对混合不发愁。

要一如既往地相信，对于不等式恒成立问题，有参数的，还是要首选参变分离，无参数的，也应当首选做差（做商）构造函数，而直接转化为最值问题。

不等式恒成立求参数的范围问题，这里利用公切线处理，是不是也觉得思路还是很清晰？

当然，因为式中对数是单身狗，也可以考虑分离参数后，转化为最值问题。

但是，绝对要做好处理隐零点问题的思想准备。

切线，是数学里比较热点的问题，除了切线方程的求法，对切线不等式的理解，也是时候提上日程了。

毕竟，函数不等式的证明，是函数与导数中最常规的模型。

当然，最后还是要做一下友情提醒：

切线不等式的使用，主要是针对于凹凸性不同的两种函数做大小比较。而对于凹凸性相同的函数，则肯定是不适合用切线不等式处理的。

因此，拿到题目，先快速求地阶导数就显得尤为重要了。

END

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