题目试求所有满足下列方程的正整数解 
分析这道题的形式比较简单，但是讨论清楚也不容易。事实上，等式两边的底数分别是 和 ，很容易看出 具有完全相同的质因数。而从结论来看，如果能够注意到 其实是 的倍数，那此题就迎刃而解了。本文提供一种比较快的解法，解法不唯一。 解答注意到 等价于 因此得到一组解 。 不妨设 ，令，可得，从而，由于是一个正有理数，不妨设，其中是互质的正整数，因此
若，则右式是一个正整数，那么要使左式为正整数，只能有，此时，考察函数的单调性可知，当时，此时不可能为整数，因此。当时，有一解；当时，有一解；其他情况无解。 若，则改写成倒数形式
其中右式是一个整数，同理只能有，此时，而，则，考察函数单调性可知，当时，进而这种情况无解。 综上所述，原方程的解为或或。 点评本文提供的解法是使用将指数和底数之间的关系用联系在一起进行分析。事实上也可以分析出是的倍数进行解答，再或者可以分析的最大公约数也行，其他解法留给读者思考。此题出自第37届 IMO。
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