在这篇文章中,我将试着求出半满的以恒定角速度旋转的水桶内自由水面的形状。因为我要研究的是运动速度比光速小得多的系统,所以可以忽略相对论效应。推导基于牛顿运动定律。 《原理》于1687年首次出版,随后在1713年和1726年出版了两个改进版。美国版出版于1846年。第83页包含了“牛顿运动定律”的陈述,如下图所示。这篇文章是基于《牛顿力学原理(包括非线性动力学)》一书。
加速参考系中的运动学一个在惯性坐标系I中任意运动的物体的运动方程是什么?用运动坐标系S中的坐标表示。 我们的第一个目标是找到在运动坐标系S中表示的牛顿第二定律。注意,S的任何运动都可以通过I的原点的平移和S绕其原点的轴的旋转的组合得到。
我们首先设R为质量为m的物体相对于I的位置,r为物体相对于S的位置。要找到S坐标下的牛顿第二运动定律,我们首先需要得到I和“S的加速度”之间的关系。 m在惯性坐标系下测量的速度和加速度矢量为:
m在运动坐标系中测量的速度和加速度矢量为:
注意,因为我们用的是牛顿力学,时间的度量不会从I变到S。 如图2所示,物体在I中的位置可以写成:
对式3微分两次,经过代数运算,得到如下表达式:
式中,a为物体对S的加速度,右边的三项分别为:
a的三个组成部分有以下形式:
我们可以用ω和dω/dt重新写出式5的第二和第三行,其中ω是坐标系S的角速度:
加速度的第二项可以写成:
加速参考系中的动力学我们现在将牛顿第二定律表示为参照系S中的观察者所看到的。我们假设作用在物体上的力在两个参照系中是相同的。因此: 它给出了S中的牛顿第二定律:
为了使牛顿第二定律在S中成立,我们把式8右边的后四项解释为虚拟的力。 旋转桶我们现在考虑一个装一半水的桶,以角速度ω绕其对称轴旋转(水会慢慢跟着转动)。为了求出水面的形状,我们按以下步骤进行。
在同样以角速度ω旋转的非惯性参照系S中,桶处于静止状态。过一段时间后,水就会相对于水桶静止下来。 考虑一个质量为m的体积单元。作用在它上面的力是:
因为质量在旋转坐标系S中是静止的,所以在S中这些力的总和必须为零:
第二项的二重积可改写为: 因此,平衡方程的分量为:
积分后得到:
对于定压曲面,式11给出:
我们得出结论,水桶中旋转水面的形状是抛物面。 |
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