 2021年广东中考数学试题，据说不仅考哭了一片，还难得上了热搜。 相信这张图片反映了不少考生的心情：  有网友表示这份卷有些题目超纲，第10题就是其中一道。  还有网友提出了用高中知识解决这道题的做法：   这道题真的超纲了吗？ 先说说用初中知识可以怎么做。  题目没图，所以要画个图。不过这里的画图不用讲究精确，只要符合题意，便于分析即可。 ①画“抛物线y=x²”，先画一个直角坐标系，然后把握好开口方向、顶点和对称轴就行。  ②画“OA⊥OB”，先在抛物线左侧任意选一点，记为A，连结OA，接着借助三角板，过点O画一条垂线与抛物线相交，交点记为B，标记直角，然后连结AB，搞定。  ③画“连接AB”和“OC⊥AB”，这个不难，用三角板就能搞定。  有了图，下一步就是分析： 先从问题出发，题目要求的是“点C到y轴距离的最大值”，“距离”意味着垂线段，过点C作CD⊥y轴与E，我们要求的，就是垂线段CD的最大值。  CD的长度怎么求呢？由CD⊥y轴可知，CD可以通过点C的横坐标得到。那点C的坐标又怎么求呢？题目似乎没有什么明显的线索。 怎么办？换个方向，从条件出发，看看还能得到什么线索。 从“A、B为抛物线y=x²上的两个动点”和“OA⊥OB”可知，△AOB是直角三角形。由直角三角形，你想到什么知识点？最常用的，应该是勾股定理，于是有OA²+OB²=AB²。 可是OA、OB和AB的长度从哪来呢？从坐标来。我们可以设点A的坐标为（m，m²），点B的坐标为（n，n²），结合距离公式可知，OA²=m²+(m²)²，OB²=n²+(n²)²，AB²=(m-n)²+(m²-n²)²。这样一来，由OA²+OB²=AB²可得
 这个“mn=—1”是我们得到的一个新的线索，至于它有什么用，目前还不知道，没关系，反正线索越多，思路越容易出来。 如果你对“一线三等角”模型比较熟悉的话，就能想到，过A作AM⊥x轴于点M，过B作BN⊥x轴于点N。这时由A（m，m²）和B（n，n²）可知OM= —m，AM=m²，ON= n，BN=n²；由“一线三等角”模型易证△AMO∽△0NB，从而有AM：ON=OM：BN，即m²：n=(—m)：n²，交叉相乘可得m²n² = —mn，同样能得到 mn=—1。 思考继续。“mn=—1”反映的是点A横坐标与点B横坐标之间的关系，我们还能对点A和点B做什么呢？从图中看，AB是一条线段，而且点C就在AB上。由线段和坐标系结合，你想到什么知识点？是的，一次函数！ 设直线AB解析式为y=kx+b，将A（m，m²）和B（n，n²）分别代入得：
算到这里，你有什么发现？对，“y=(m+n)x+1”的常数项是1。这意味着什么？线段AB与y轴的交点坐标是(0，1)，而且是个定点！ 不妨设AB与y轴的交点为E，则OE=1。结合“OC⊥AB”，你想到什么？动点C的轨迹就是以OE为直径的圆！ 剩下的事情就简单了，既然是圆，而且半径在y轴上，那么点C与y轴距离的最大值，就是半径½，答案选A。 回顾一下，整个思考过程涉及到的知识，有点到直线的距离、勾股定理、相似三角形的判定与性质、距离公式、解方程、待定系数法、一次函数的性质、圆的概念和性质等等。能有超纲嫌疑的，或许就是距离公式，以及解带参数的二元一次方程组了。 距离公式超纲了吗？没有，它本质上是勾股定理。 解带参数的二元一次方程组超纲了吗？我特地翻了一下《数学课程标准》，发现也没有。 因此，这道题的确有点难度，但没有超纲。 有的人可能觉得，不超纲又怎么样，考试才90分钟，这道题要想做出来，得耗多少时间，学生哪里做得完！ 的确，和往年相比，今年这套卷对学生的思维和速度都提出了更大的挑战。希望今年中考的学子能够调整好心态，相信自己的实力，毕竟到最后比的是排名，而不是分数。 那么下一年中考的学子，该如何应对这样的挑战呢？ 我想与你分享一个解题框架： 1.把握两个方向 一道数学题，有的同学读完题目后，不知道从何入手。这时不妨从两个方向考虑，一个是从问题出发，尝试找到解题的切入点；另一个是从条件出发，尝试得到更多的线索。 2.紧扣关键词 确定了方向，下一步就是紧扣题目中的关键词来思考，怎么做的？选择一个或几个关键词，想想能联系什么知识点来处理，能得到什么结论。 这两个步骤能帮助你在有限的时间内，快速有条理地找到解题思路。但知道不等于做到，用好这两步有两个前提： 第一，把基础知识和技能练扎实，没有这些基本功，什么套路都没用。 第二，总结并积累关键词的处理方式，数学题的变化千千万，关键词的处理就几样。 具体的做法，不妨参考我之前写的一篇文章，叫《想突破初中数学压轴题？做好三件事情，每天20分钟就够了》，里面有更详细的说明。 最后，祝今年中考的学子能不负众望！ |
|
|
