【原】压轴题打卡133：圆有关的综合题分析

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果AD=5，AE=4，求AC长．

参考答案：

考点分析：

切线的判定；相似三角形的判定与性质．

题干分析：

（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得AE与OD平行，由两直线平行同旁内角互补，得到∠E与∠EDO互补，再由∠E为直角，可得∠EDO为直角，即DE为圆O的切线，得证；

（2）连接BD，过点A作AF⊥AC，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADB为直角，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义得到cos∠DAB的值，又在直角三角形AED中，由AE及AD的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠EAD的值，由∠EAD=∠DAB，得到cos∠EAD=cos∠DAB，得出cos∠DAB的值，即可求出直径AB的长，由勾股定理和垂径定理即可求出AC长．

解题反思：

此题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，切线的证明方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线证明垂线段等于圆的半径．