由圆锥曲线离心率引起的十类变式

■福建省泉州市第七中学 彭耿铃

求解圆锥曲线离心率的取值范围，常涉及列不等式、三角形中角的变化，圆锥曲线的定义、性质等知识点，综合性强，计算量大。很多同学解题时感到吃力，甚至半途而废，若掌握问题本质，解题就变得容易了。下面给出由圆锥曲线离心率引起的十类变式，希望同学们在阅读完这些题目后能有所收获！

图1

例1 双曲线=1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( )。

A.(1，3) B.(1，3]

C.(3，+∞) D.[3，+∞)

解法一：利用三角形正余弦定理。

解法二：利用三角形的两边之和大于第三边，及两边之差小于第三边。但要注意可以取到等号成立，因为可以三点共线。

设|PF2|=m，则|PF1|=2m，|PF1|-|PF2|=m=2a。又因为|PF1|+|PF2|≥|F1F2|(当且仅当P，F1，F2 三点共线等号成立)，所以3m≥2c，6a≥2c⇒e=。

又e＞1，故e∈(1，3]，选B。

解法三：利用焦半径公式确定a 与c 的关系。

设点P(x0，y0)(x0≥a)，则由焦半径公式可得|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a。因为|PF1|=2|PF2|，所以ex0+a=2(ex0-a)，解得x0=。因x0=≥a，故e≤3。又e＞1，故e∈(1，3]，选B。

解法四：数形结合和有界性。

因为|PF1|-|PF2|=2a，且|PF1|=2|PF2|，所以|PF2|=2a。即在双曲线的右支上恒存在点P，使得|PF2|=2a。由图1可知|AF2|≤|PF2|，故|OF2|-|OA|=ca≤2a，c≤3a⇒e=。

又e＞1，故e∈(1，3]，选B。

理解了这道题的解法及对策后，我们再来看看一些同类变式题，有助于我们解决此类问题！

同类变式1：已知双曲线0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P 在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e，且|PF1|=e|PF2|，则e 的最大值为( )。

图2

解析：可采用例1的解法四。如图2所示，|PF1|-|PF2|=(e-1)|PF2|=2a⇒|PF2|

由解法四可知：

A.(1，+∞)      B.(0，3]      C.(1，3]         D.(1，2]

同类变式3：已知点F 是双曲线=1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线离心率e 的取值范围是( )。

图3

解析：可采用例1的解法一。如图3 所示，设∠AEB=θ ＜90°，由双曲线的对称性及通径可知，∠AEF=。在Rt△AEF 中，tan＜1⇒b2＜a2+ac，即c2-a2＜a2+ac，两边同除以c2，化简可得e2-e-2＜0⇒-1＜e＜2。

又e＞1，故e∈(1，2)，选B。

同类变式4：(2008 年江西理卷第7 题)已知F1、F2 是椭圆=1的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )。

图4

解析：可采用例1的解法四。

如图4 所示，点M的轨迹是以F1F2 为直径的圆，因它在椭圆内部，故c＜b⇒c2 ＜b2=a2-。

解析：由题意可得椭圆的焦点在x 轴上。如图5 所示，设|F1F2|=2c，所以△PF1F2 为 等腰三角形，且∠F1F2P=120°。

图5

图6

同类变式7：如图6，设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与椭圆E 交于P，Q两点，若△PF1F2 为直角三角形，则椭圆E 的离心率是( )。

图7

图8

同类变式10：(2018年福建省质检)如图8，已知双曲线1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，左顶点为A。以F为圆心，FA 为半径的圆交双曲线C 的右支于P，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为_____。

解析：因为双曲线=1 关 于x 轴对称，所以△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形。又△APQ 的一个内角为60°，故△APQ为等边三角形，且∠PAF=30°。又|FA|=|FP|=a+c，故∠AFP=120°。

设双曲线的左焦点为F′，连接F′P，则|PF′|-|PF|=2a，|PF′|=3a+c。

在△PFF′中，由余弦定理得，|PF′|2=|FF′|2+|PF|2-2|FF′|·|FP|cos120°。

(3a+c)2=(2c)2+(a+c)2-2×2c×(a+c)×cos120°，整理得4a2+ac-3c2=0，两边同时除以-a2，得3e2-e-4=0。

解得e=或e=-1(舍去)。

以上十道同类变式题也可采用本文例题的其他解法，这里仅供大家参考。求解圆锥曲线离心率的取值范围是解析几何的主要题型，也是高考常考的内容之一，解决此类问题的关键是掌握其曲线本质，这样难题也变得容易了。