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你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。 代数学除了给我们带来了方程和函数这两个工具，还揭示了世界上关于数字的另一个规律，就是数字的方向性。大家可能会说，数字怎么会有方向性，我们不妨先看两个例子。 第一个例子。假如你用40公斤的力来拉一个箱子，你的同事用30公斤的力来推，那么箱子受力是多少？你可能会说是70公斤啊，这是小学生学习完加法后给出的答案，但是如果他学习了减法，可能会想到如果两个人用力方向相反，那么就不是70公斤了，而是10公斤。 但是如果两个人用力方向正好呈直角，或者120度角呢？这时合力既不是70公斤，也不是10公斤，具体是多少则取决于彼此用力的夹角。 第二个例子。某个建筑工地要实施爆破，爆破的半径是120米，你要赶快逃离。当然能走的道路未必是一个笔直的方向，你有几种选择。 一种是先向北跑了100米，又向东跑了50米，这时你能逃离到安全区吗？如果你只考虑自己跑的路程，你跑了100+50=150米，超过了120米，但是由于你跑动的方向并非一个方向，你其实离爆破中心只有118米，还在危险区内。 在另一种情况下，你先往北跑了100米后，再往东北跑了50米，这时你就离爆破中心139米，你已经安全了。最后一种情况，你先往北跑100米，再往东南跑了150米，这时一共跑了250米，却只离开爆破中心106米，可以讲是吃力不讨好。 我把这几个情况画在了一张图里，图中圆圈的半径是120米，三种情况分别用红线、蓝线和黑线表示了。可以看出，只有第二种情况，即先往北跑，再往东北跑能够跑出爆炸的范围。
这两个例子虽然是我虚构出来的，但在现实中类似的情况非常多见。我们常说，一个组织，必须形成合力，才能把事情做好，我们还说，一个人如果跑错了方向，再努力也没有用，就和上面两个例子所描述的情况相一致。 因此，在这个世界上，对于大部分物理量和在生活中遇到的数量，我们不仅需要关心数值的大小，还需要关心方向。 物理中的力是如此，生活中我们行驶的路径是如此，一个人、一个企业做事的目标和所投入的努力，也是如此。当我们的知识和阅历增加时，认识水平也要相应地提高，特别是如果我们读完了大学，每次看到数字时就必须想一想，“是否考虑了方向？”否则我们就还是停留在小学生对数字的理解程度。 当然，相应的，在数学上也要有工具，来描述带有方向的数字，这种工具被称为向量。类似的，那些只需要关心数值，不关心方向的数量被称为标量。 那么在数学上向量是怎么表示的呢？通常有两种表示法。第一种是用所谓的极坐标的表示方法，比如我们常说“前面100米，11点钟的方向”，这就是在极坐标中对向量的一种描述。100米代表向量的数值，我们通常称之为长度。11点钟的方向，我们通常称之为向量的方向。 在没有参照系的空中或者海上，通常采用这种方法。在世界上一些自然发展起来的城市里，也经常使用这种方式来描述方位，比如在巴黎或者莫斯科，就会以凯旋门或者红场为中心，往某一个方向行进一定的距离。 用这种极坐标表示向量的方式在一些城市就不那么方便了。比如在北京或者纽约这种完全是规划出来的城市，街道是横平竖直的，高楼也挡住了视线，没有人会说往10点钟的方向走400米，因为你要去的点根本没有直通的道路。 实际上，北京和纽约横平竖直的街道本身就是一个笛卡尔坐标，人们通常会这样说：“往东300米见到红绿灯往南拐，再走200米就到了。”我们如果以所在地为原点，按照上北下南左西右东的概念来确定方位的话，往东300米，往南200米，目的地的坐标就是(300，-200)，也就是说，我们直接用终点的坐标表示向量更有效。 而那个目标点离我们的距离可以根据勾股定理算出来，是大约360米，和X轴的方位角是斜下方34度，这和我们用长度与角度的组合表示向量是一回事。我把这两种表示法画在了下面的图中。
通常我们在坐标系中用一个有长度、带箭头的线段表示一个向量。一般来讲，在笛卡尔坐标中我们喜欢将向量的起点放在原点，终点就是坐标系中的某个点，然后我们从原点往那个点画一根带有箭头的线段。不过向量的起始点不重要，重要的是起始点的相对坐标。 比如从原点出发指向(a，b)点的向量，和从(10，10)这个点出发，指向(a+10，b+10)的向量，其实是一回事。
接下来，在给定坐标后，向量的长度和方向怎么计算呢？从图中你可以看出，从原点出发指向(a，b)的向量，其实就是以a，b为直角边的直角三角形的斜边，因此根据毕达哥拉斯定理，我们很容易计算出这个向量的长度r是a的平方加b的平方后开根号。 当然，还可以用余弦三角函数的定义，算出这个向量和X轴的夹角。这两个值我也体现在上图中。 如果我们对比一下极坐标和直角坐标对向量的表示方法，你会发现它们其实是一回事。不过在多维空间中，直角坐标常常更方便。比如三维空间中的一个向量，我们把起点定为原点，它就应该对应一个三维坐标(a，b，c)，如果是N维空间的向量，就会对应N个坐标，我们不妨假设为(k1,k2,k3,……,kn)。 任何数量都可以做加减乘除的运算，向量也可以。向量的加法实际上很简单，如果一个向量是(k1,k2,k3,……,kn)，另一个是(j1,j2,j3,……,jn)，两个向量加起来，就是(k1+j1，k2+j2,k3+j3,……,kn+jn)。但是由于向量有方向性，向量的长度和角度，并不是原来长度和角度简单相加。 下面我们就用二维空间的向量，说说向量相加后的长度。 我们假定有两个向量V1和V2，它们相加后的向量是V3，即V3=V1+V2。那么V3的长度是多少呢？它遵循一个平行四边形法则，为了说明这个法则，我画了一个简单的图： 在图中，V1和V2是两个向量，我们以它们为两条边画一个平行四边形，平行四边形的对角线就是这两个向量之和。
平行四边形对角线的长度，我们可以用余弦定理算出来，这里我们就把公式省略了，转而讨论几个特例情况，这样大家更容易有直观的认识。为了方便起见，我只给出V1和V2长度相等的情况，而且假设它们都是单位长度，这时当V1和V2有不同夹角时，V3的长度如下：
从这个结果可以看出，要形成合力就必须方向一致，即便方向不能完全一样，彼此之间方向的夹角也需要尽可能地小。如果两个向量的夹角超过了120度，那么两个力加起来还不如一个力的作用。 理解了数量的方向性，我们就可以得到一个自然的推论，那就是做事情要聚焦。如果不聚焦是什么结果？你往三个方向使劲，每一次努力其实都是有成本的，但是很多时候努力相互抵消掉了。 一个单位里，特别是那些规模不大的创业公司，如果什么事情都想做，力量不仅分散，而且彼此会产生矛盾，作用就抵消了。即使没有太多矛盾，只要用力的方向不一致，效率就低。 比如说如果两个人用力的方向是120度，也就是说有时候合作，有时候闹分歧，结果就是两个人工作只产生了一个人原来应有的产出。一些企业迷信把几个牛人堆到一起就能产生好的效果，这其实是小学生的思维方式。如果找来的人不能配合，有时越牛越有副作用。 不仅多个人合作会因为方向不一致出问题，一个人自己努力，如果方向总是摇摆，也会出大问题，比如我们前面举的逃离爆破现场的例子中，方向来回换，特别是动不动拐大弯，其实最后是在兜圈子。 既然向量之间的夹角这么重要，它们又是怎样计算的呢？其实也是用余弦定理。计算向量的夹角有一系列非常重要的应用，这些我们下一讲再讲。——吴军《数学通识五十讲》 |
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