【原】《向量代数的基本概念与基本性质》总结与典型题

1、空间直角坐标系

(1) 空间直角坐标系不唯一；

(2) 三个坐标轴的方向符合右手法则（右手张开，四个手指指向从x轴正向向内弯曲90度转到y轴正向，则大拇指所指方向为z轴正向）；

(3) 一个空间直角坐标系包括一个原点、三个坐标轴、三个坐标面、将空间分割成八个卦限.

(4) 空间直角坐标系O-xyz的三个平面依次记作xOy,yOz,zOx；并构成三个坐标面。

(5) 坐标系原点坐标为(0,0,0)，坐标轴上的点的坐标(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)，坐标面上的坐标(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z)及各卦限内点的坐标取值范围。

2、空间中点和向量的坐标描述

即以原点为起点，终点为P的向径；也表示长度（向量的大小）为|OP|，方向与向径OP同向的自由向量。

3、空间两点的距离公式及中点公式

空间两点A(x₁,y₁,z₁)，B(x₂,y₂,z₂)的距离，即以A为起点，B为终点的向量的长度，所以有

并有两点间的中点(x₀,y₀,z₀)坐标计算公式

4、向量关系与基本运算

设向量a=(a_x,a_y,a_z)，b=(b_x,b_y,b_z)，λ为实数：

(1) 若向量 a 与 b大小相等，方向相同，则称 a与 b相等，记作a=b；且有

(2) 若非零向量 a 与 b方向相同相等或者相反，则称 a与 b平行，记作a//b；且有

规定:零向量与任何向量平行。因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称两向量共线.

(3) 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上，则称此k个向量共面.

(4) 与 a的模相同，但方向相反的向量称为a的负向量，记作-a.

(5) 向量的加减与数乘运算符合矩阵的加减与数乘运算法则：

(6) 向量的加减法有平行四边形法则与三角形法则，并借助于三角形三边长的关系有相关的不等式结论：

(7) 任何向量都可以描述为两个向径的差，或者以任一点为起点，以该向量的终点、起点分别为终点的两个向量的差，即

6、向量的基向量描述与方向余弦

(1) 基向量i，j，k分别表示方向与x,y,z轴相同，长度为1的单位向量；

(2) 任意向量a=(a_x,a_y,a_z)可以描述为

(3) a_x i，a_yj，a_zk称为向量沿三个坐标轴方向的分向量，也是向量a在三个坐标轴上的投影向量.

(4) 向量与坐标轴的夹角及向量与三个基向量的夹角，有如下计算公式与性质：

其中α，β，γ也是向量与坐标轴x,y,z轴的夹角，称为向量的方向角，cosα，cosβ，cosγ也称为向量的方向余弦. 三个方向角，或者三个方向余弦确定了向量的方向. 最后两个式子即体现了确定向量的两个要素：大小（向量的模）与方向（单位向量，即方向余弦构成的向量），也是一个向量的单位化运算.

参考课件与例题节选：