高中数学必修第二册概念摘抄

高中数学必修第二册共5章：

第六章：平面向量及其应用

第七章：复数：

第八章：立体几何初步

第九章：统计

第十章：概率

第六章：平面向量及其应用

1、向量的几何表示

向量（vector）：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量。而把只有大小没有方向的量称为数量，物理学中常称向量为矢量，数量为标量。

有向线段 （directed line segment）：具有方向的线段叫做有向线段。有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。以为起 点、为终点的有向线段记作，向量的大小称为其长度（或称模），记作。长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记作0。长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector）。

平行向量（parallel vectors）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作。平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）。

相等向量（equal vectors）：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作。

2、平面向量的运算

向量加法的三角形法则：

向量加法的平行四边形法则：

相反向量：我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。

向量的减法：，即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。

向量的数乘（scalar multiplication of vectors）：

一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：

，当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。

向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。

向量的数量积（或内积inner product）：

已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做向量和的数量积，记作，即 。

规定：零向量与任一向量的数量积为０。

投影向量（project）：

，，叫做向量在向量上的投影向量。

向量数量积的性质：

设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

（1）

（2）

（3）当同向时，；当反向时，；特别地，或。

（4）

3、平面向量基本定理：

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得

若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）。由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示。

4、平面向量的正交分解：不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。

重力可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力 ，垂直于斜面的压力。

5、平面向量的坐标表示：

在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底。对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得

我们把有序数对叫做向量的坐标，把叫做向量的坐标表示。

显然，。

① 向量的坐标与点的坐标之间的联系：

设，则向量的坐标就是终点的坐标；反之，终点的坐标也就是向量的坐标。

② 平面向量加减运算的坐标表示：

两个向量和 （差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 （差）。

因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

③ 平面向量数乘运算的坐标表示：

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

④ 平面向量数量积的坐标表示：

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

若，则

设都是非零向量，，是与的夹角，则

6、平面向量的应用

余弦定理（cosine theorem）：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即

有余弦定理，可得如下推论：

余弦定理特例：若，则，有勾股定理：

正弦定理（sine theorem）：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等，即