【原】圆锥曲线专题解析3焦点弦问题变式训练答案

圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题变式训练答案

变式训练1

 见解析

(1)由,得,

∵直线与轴垂直,∴,

由,解得:或,

当点坐标为,则点坐标为,

此时直线的斜率为,

∴直线的方程为,即;

当点坐标为,则点坐标为,

此时直线的斜率为,

∴直线的方程为,即.

故直线的方程为或.

(2)当直线方程为时,直线与轴重合,不满足题意;

故可设直线的方程为,

由,得,即,

设,,

由根与系数关系可得,,,

∵的中点,点,

∴,,

∵.

∴,

故,,三点共线,

所以直线经过线段的中点.

变式训练2

 见解析

(1)由椭圆方程得,椭圆的右焦点为,

∴抛物线的焦点为,

∴,

∴抛物线的标准方程为.

(2)①当动弦所在直线的斜率不存在时,易得:,,.

②当动弦所在直线的斜率存在时,易知的斜率不为.

设所在直线方程为,且,.

联立方程:,得,

∴,,,

∴.

∵所在的直线方程为,联立方程,得点,

∴,

∴,

综上所述:的最小值为.

变式训练3

 (1)

(2)或

(1)由题意得,设的方程为().

设,,

由得.

,故.

所以.

由题设知,解得(舍去),.

因此的方程为.

(2)由(1)得的中点坐标为,所以的垂直平分线方程为

,即.

设所求圆的圆心的坐标为,则圆心到直线的距离为,

所以解得或.

因此所求圆的方程为或.

变式训练4

 见解析

(1)设中点为,到准线的距离为,到准线的距离为,到准线的距离为,则,

由抛物线的定义可知,,,

所以,

由梯形中位线可得,

所以,而,

所以,可得,

所以抛物线.

(2)设,,

由得,则.

所以直线的方程为,直线的方程为,

联立得,,即,的交点坐标为,

因为过焦点,所以设直线的方程为,

将其代入抛物线中得,所以,

所以,

所以,的交点在定直线上.

变式训练5

 见解析

(1)根据题意知,①,

因为,所以②,

联立①②解得,.

所以抛物线的方程为.

(2)四边形存在外接圆.

设直线方程为,代入中,得,

设点,,则,

且,,

所以,

因为,即,所以.

因此,切线的斜率为,切线的斜率为,

由于,所以,即△是直角三角形,

所以△的外接圆的圆心为线段的中点,线段是圆的直径,

所以点一定在△的外接圆上,即四边形存在外接圆.

又因为,所以当时,线段最短,最短长度为,

此时圆的面积最小,最小面积为.