【原】导数的应用---导数单调性、极值、最值的直接应用（1）

一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）

1、（切线）设函数.

（1）当时，求函数在区间上的最小值；

（2）当时，曲线在点处的切线为，与x轴交于点求证：.

解：(1)时，，由，解得.

      的变化情况如下表：

	0				1
		-	0	+
	0	↘	极小值	↗	0

所以当时，有最小值.

(2)证明：曲线在点处的切线斜率

 曲线在点P处的切线方程为.

 令，得，∴∵，∴，即.

         又∵，∴

         所以.

2、（极值比较讨论）

已知函数其中,

⑴当时，求曲线处的切线的斜率；  

⑵当时，求函数的单调区间与极值.

解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

⑴

⑵

以下分两种情况讨论：

①＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：

	+	0	—	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

②＜，则＞，当x变化时，的变化情况如下表：

	+	0	—	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

3、已知函数

⑴设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立b关于a的函数关系式，并求b的最大值；

⑵若在(0,4)上为单调函数，求a的取值范围。

 

4、（最值，按区间端点讨论）

已知函数f(x)=lnx－.

(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；

(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为，求a的值.

解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝.

∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.

(2)由(1)可知：f ′(x)＝，

①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，

∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去).

②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，

∴f(x)min＝f(e)＝1－=，∴a＝－(舍去).

③若－e<a<－1，令f ′(x)＝0，得x＝－a.

当1<x<－a时，f ′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；

当－a<x<e时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－.

综上可知：a＝－.

5、（最值直接应用）已知函数，其中.

（Ⅰ）若是的极值点，求a的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上的最大值是0，求a的取值范围.

解：（Ⅰ）.

依题意，令，解得. 经检验，时，符合题意.                             

（Ⅱ）解：① 当时，.

故的单调增区间是；单调减区间是.

② 当时，令，得，或.

当时，与的情况如下：