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单纯解这道题，其实并不难，但是重要的是要理解导数的含义是什么！下面我结合自己的理解来谈一下，欢迎大家批评指正。 恩格斯把笛卡尔坐标、对数以及微积分，并成为十七世纪的三大发明。这三样数学工具对数学以及天文学的发展起到了巨大的推力作用，如果大家有兴趣的话，后续我会发一些相关的趣闻轶事。言归正传，我们来谈导数。 对于导数的学习，大家上大学后会进行更加深入的学习，下面我就针对高中阶段的导数学习和大家进行探讨。 一、导数的起源 微积分的发明人之一是牛顿，牛顿主要还是研究物理为主，微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具。 因为牛顿研究物理的缘故，所以牛顿用变化率的方式引入了导数（牛顿称之为“流数”）。 在物理里面变化率还是很自然的概念，比如为了求瞬时速度： 我们一般是上面这样的学习过程，所以我们认为，导数是曲线的变化率、是瞬时速度、是加速度，还可以是切线的斜率。（注意：在高中阶段可以这样认为）。 二、导数的基本性质 提炼1 导数与函数的单调性 (1)函数单调性的判定方法 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递减． (2)常数函数的判定方法 如果在某个区间(a，b)内，恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)是常数函数，在此区间内不具有单调性． (3)已知函数的单调性求参数的取值范围 设可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验). 提炼2 函数极值的判别注意点 (1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，当x＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0. (2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值．在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件． (3)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值. 提炼3 函数最值的判别方法 (1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是求出f′(x)＝0的根的函数值，再与f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (2)求函数f(x)在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数f(x)的单调性，即可得结论． 三、导数的应用 热点题型1 利用导数研究函数的单调性问题 题型分析：利用导数研究函数的单调性问题常在解答题的第1问中呈现，有一定的区分度，此类题涉及函数的极值点、利用导数判断函数的单调性、不等式的恒成立等. 热点题型2 利用导数研究函数的极值、最值问题 题型分析：利用导数研究函数的极值、最值是高考重点考查内容，主要以解答题的形式考查，难度较大. 总结：利用导数研究函数极值、最值的方法 1．若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． 2．若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解． 3．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． 热点题型3 利用导数解决不等式问题 题型分析：此类问题以函数、导数与不等式相交汇为命题点，实现函数与导数、不等式及求最值的相互转化，达成了综合考查考生解题能力的目的.
总结：1．利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 2．构造辅助函数的四种方法 (1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x) (2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． (3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))． (4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数． 最后，还是希望大家一定要回归课本，所谓万法归宗，高考不论怎么出题，都是以课本为基准，一定要把课本吃透了。就比如，咱们导数的推导过程，其实用的就是极限的思维，而用极限的思维来解某类型的高考题，尤其是选择题，往往事半功倍，可能30秒就可以做出答案。 祝好！ |
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