相信同学们都知道,矩阵运算会带来维度变化。 那么这个变化遵循什么规律吗? 今天我们就来学习一下。 我们知道,矩阵运算完成的是一个向量空间到另一个向量空间间的映射 而根据秩的不同,映射后的维度也会有所不同。假设左边是个面经过满秩矩阵运算后,右边也是个面如果是非满秩矩阵,则右边是根线如果是零矩阵,则右边是个点只要不是满秩矩阵,矩阵运算总有维度损失。那么消失的维度去哪里了呢?它们都被压缩到了零点也就是 我们来看两个例子。
2.1 非满秩 在非满秩矩阵时,映射前是面,映射后是线 则映射前的维度是2,映射后的维度是1 下面标出零点
映射过程展示如下:可以看到,此时是一条线被 点 则此时被压缩到零点的维度为1 2.2 零矩阵
在零矩阵时,映射前是面,映射后是点 则映射前的维度是2,映射后的维度是0 而零矩阵映射后的那个点就是 点
映射过程展示如下:则此时被压缩到零点的维度为2 2.3 结论
这两个例子说明: 确实是成立的。这就是维度所遵循的规律。下面我们来看看它的一般代数形式。
3.1 映射前 假设矩阵 的大小为 。 根据合法性原则可得,映射前的空间是 维空间 3.2 映射后
再根据矩阵运算法则,可知映射后的空间为矩阵列向量张成的空间 这个空间的维度就是 3.3 齐次方程解集的维度 从前面的学习可以看到,被压缩到的零点的向量,其实齐次方程 的解集。 将这个解集的秩用 表示,则: 3.4 完整表述 最后,它的完整表达如下:
设矩阵 的大小为 , 元齐次方程组 的解集的秩为 ,则这个定理被称为:秩--零化度定理。它就是矩阵运算中,维度所遵循的变化规则。
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