【考试要求】 1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置; 2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式; 3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; 4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; 5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 【知识梳理】 1.空间向量的有关概念 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是[0,π],若〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b. ②非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)空间向量数量积的运算律: ①结合律:(λa)·b=λ(a·b); ②交换律:a·b=b·a; ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 【微点提醒】 1.在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:=x+y(其中x+y=1),O为平面内任意一点. 2.在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是:=x+y+z(其中x+y+z=1),O为空间任意一点. 3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立. 4.若向量α的投影向量是γ,则向量α-γ与向量γ垂直,当向量γ与向量α起点相同时,终点间的距离最小. 【考点聚焦】 考点一 空间向量的线性运算 【规律方法】 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. (2)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算. 考点二 共线定理、共面定理的应用 【规律方法】 (1)证明空间三点P,A,B共线的方法 ①=λ(λ∈R); ②对空间任一点O,=x+y(x+y=1). (2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法 ①=x+y; ②对空间任一点O,=x+y+z(x+y+z=1); ③∥(或∥或∥). (3)三点共线通常转化为向量共线,四点共面通常转化为向量共面,线面平行可转化为向量共线、共面来证明 考点三 空间向量的数量积及其应用 多维探究 角度1 数量积的坐标运算 角度2 数量积的线性运算 【规律方法】 1.利用数量积解决问题的两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算. 2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题 【反思与感悟】 1.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键. 2.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类,运算方法有两种,一种是建立空间坐标系,用坐标表示向量,向量运算转化为坐标运算,另一种是选择一组基向量,用基向量表示其它向量,向量运算转化为基向量的运算. |
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