【原】2.2.3向量数乘运算及其几何意义

鼠年大吉

HAPPY 2020'S NEW YEAR

       当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。——柯普宁（前苏联哲学家）

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

一、要背的概念和公式：

1、记忆向量的数乘的定义，尤其是长度和方向的规定内容；

2、记忆P88页方框中的运算律，会用运算律进行简单的运算；

3、记忆“若a(a≠0)与b共线，则有且只有一个实数λ，使b＝λa”。

二、例题和练习：

课本例5、例6、例7。P.90练习2、3、4、5。

三、注意事项：

1、λa表示向量：长度是|λa|＝|λ||a|；方向是“当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ=0时，λa是零向量”。

2、若a(a≠0)与b共线，则有且只有一个实数λ，使b＝λa。

其中的前提条件a≠0尤其要在概念辨析中要注意。

3、记忆两个常用结论：→AP＝t→AB(t∈R)等价于A、B、P三点共线，→OP＝m·→OA＋n·→OB且m＋n＝1等价于A、B、P三点共线.

四、要注意的题型：

1．设两个不共线的向量e₁、e₂，若向量a＝2e₁－3e₂，向量b＝2e₁＋3e₂，向量c＝2e₁－9e₂，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？

[答案]只要λ＝－2μ就能使d与c共线．

2．若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则(    )

A．|2a|>|2a＋b|       B．|2a|<|2a＋b|    C．|2b|>|a＋2b|      D．|2b|<|a＋2b|

[答案]C

3．△ABC中，D是AB边上一点，→AD＝2→DB，→CD＝31→CA＋λ→CB，则λ等于(    )

A.32       

 B.31         

C．－31           

 D．－32

[答案]A

4．两非零向量e₁、e₂不共线，且ke₁＋e₂与e₁＋ke₂共线，则k值为(    )

A．1               

B．－1         

C．±1           

 D．0

[答案]C

5．△ABC中，→AE＝51→AB，EF∥BC，EF交AC于F，设→AB＝a，→AC＝b，则→BF用a、b表示的形式是→BF＝________.

[答案]－a＋51b

6．在△ABC中，M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点，O是△ABC平面上的任意一点，若→OA＋→OB＋→OC＝31e₁－21e₂，则→OM＋→ON＋→OP＝________.

[答案]31e₁－21e₂.

7．已知△ABC的重心为G，O为坐标原点，→OA＝a，→OB＝b，→OC＝c，

求证：→OG＝31(a＋b＋c)．

温馨提醒：

由于数学符号的特殊性，很多符号无法粘贴下来，具体内容请以下面的图片为准。 

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