【原】1.3算法案例

        硬说数学科学无美可言的人是错误的。美的主要形式是秩序、匀称与明确。——亚里斯多德

1.3算法案例

一、要背的概念和公式：

1、会用辗转除法和更相减损术来求最大公约数，并且能写出详细过程；

2、要理解秦九韶算法的的运算过程，清楚V₀、V₁、V₂等的意义；

3、能准确理解进位制的内容，能进行十进制和二进制、三进制的互化；

4、理解十六进制数的表示方法，能与十进制数进行互化。

二、例题：

课本例1、例2、例3、例5。P45习题；P48 A组1、2、3。

三、注意事项：

1、更相减损术求最大公约数时，若有2为约数，要先除以2后，再求；

2、秦九韶算法中，要根据例2彻底弄清楚V₀、V₁、V₂等的意义；

3、用除2取余法，可以将10进制化为2进制；除3取余法可以将10进制化为3进制，依次类推；

4、16进制是依次用0~9ABCDEF表示数字，十进制中的10到15，在十六进制中依次用ABCDEF来表示 ；

5、除十进制外，其他进制的数，必须加下角标，如：1010_（2）、2345_（6） 等。

四、要注意的题型：

1、(1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.

（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.

2、分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数．

3、已知一个5次多项式为f（x）=5x⁵+2x⁴+3.5x³-2.6x²+1.7x-0.8，

 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.

4、用秦九韶算法求多项式f(x)=7x⁷+6x⁶+5x⁵+4x⁴+3x³+2x²+x当x=3时的值.

5、（1）将8进制数314 706₍₈₎化为十进制数.

（2） 把十进制数89化为三进制数.

6、把1 234₍₅₎分别转化为十进制数和八进制数．

[答案]

1、解：（1）123＝2×48＋27，48＝1×27＋21，27＝1×21＋6，21＝3×6＋3，6＝2×3+0，

最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.

（2）80÷2=40，36÷2=18，40÷2=20，18÷2=9.

下面来求20与9的最大公约数，

20－9=11，11－9=2，9－2=7，7－2=5，5－2=3，3－2=1，2－1=1，

可得80和36的最大公约数为2²×1=4.

2、解：辗转相除法：

1 734=816×2+102，816=102×8（余0），∴1 734与816的最大公约数是102．

更相减损术：首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．

867-408=459，459-408=51，408-51=357，357-51=306，306-51=255，255-51=204，

204-51=153，153-51=102，102-51=51.

∴1 734与816的最大公约数是51×2=102．

3、解：f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，

故有：v₀=5；  v₁=5×5+2=27;   v₂=27×5+3.5=138.5;   v₃=138.5×5-2.6=689.9;

v₄=689.9×5+1.7=3 451.2; v₅=3 415.2×5-0.8=17 255.2;

所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.

4、解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x

v₀=7； v₁=7×3+6=27； v₂=27×3+5=86； v₃=86×3+4=262； v₄=262×3+3=789；

v₅=789×3+2=2 369；  v₆=2 369×3+1=7 108；  v₇=7 108×3+0=21 324.

∴f(3)=21 324.

5、解：

（1）、314 706₍₈₎=3×8⁵+1×8⁴+4×8³+7×8²+0×8¹+6×8⁰=104 902.

所以，化为十进制数是104 902.

（2）、解：89=3×29+2，29=3×9+2，9=3×3+0，3=3×1+0，1=3×0+1，

所以:89₍₁₀₎=10 022₍₃₎.

6、解：1 234₍₅₎=1×5³+2×5²+3×5+4＝194．

则1 234₍₅₎=302₍₈₎

所以，1 234₍₅₎=194＝302₍₈₎ 

温馨提醒：

由于数学符号的特殊性，很多符号无法粘贴下来，具体内容请以下面的图片为准。