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三角形的翻转平移重合与全等三角形 于德浩 2021.8.7 在全等三角形的判定定理中，“边角边”是显然成立的。当给定两边及夹角时，只能作图一个三角形，因为两点之间有且只有一条直线。所以，当两个三角形如果能够重合“边角边”时，第三边也就必然重合，这就是全等。 而对于“边边边”判定定理，就不那么明显直接。或者，我们只能根据第三边去推算另外两边的夹角也是确定唯一的，从而回到“边角边”判定定理。下面，我们看一下，怎么通过直接的翻转及平移去重合两个“边边边”两两相等的全等三角形。 假设△ABC，顶点排列顺时针方向，AB=3，BC=4，CA=5。若另外一个△DEF也有相同的三边长。咱们先重合其中一条边，令AB=DE。第一种情形，DE=3，EF=4，FD=5。这正好顺序对应重合，所以，△ABC≌△DEF。倘若是第二种情形，DE=3，而EF=5，则FD=4。根据各顶点对应关系，就有△ABC≌△EDF。即，AB=ED=DE=3，BC=DF=FD=4，CA=FE=EF=5。从图形上看，第一种情形，只要简单平移，两个全等三角形就能重合；而第二种情形，要把△DEF先翻转，然后再平移，才能与△ABC重合。 同一三角形，给定三边长分别是3,4,5，在一个平面上能有几种摆法呢？如果底边在x轴，另一顶点在上方，那么应该有穷举法6种图案。趴着的有两种，斜边5在底边，左边是长直角边4，右边是短直角边3；或者左边是短直角边3，右边是长直角边4。短竖着有两种，斜边在左边或右边。长竖着也有两种，斜边在左或在右。 我们也可以通过全排列的算法去计算这6种图案。△ABC，有P（3,3）=3!=3*2*1=6种全排列方式。从左到右顺时针，ABC，ACB；BAC，BCA；CAB，CBA。这里AB=3，BC=4，CA=5，保持不变，∠B是直角90°。相当于，我们拿着同一个三角形，在桌面上摆出6中不同的站立姿势。 我们再想一个基本的问题，三个点，有几条不同的连结线呢？ 显然有3条。这不就是三角形吗？三个顶点，三条边。我们也可以用组合的算法去计算，C（3,2）=3!/(2!*1!)=3（条）。如果是4个点，有几条不同的连线呢？应该是C（4,2）=4*3/2!=6（条）。就是四边形的4条边和2条对角线。对于n个点，就应该有C（n,2）=n*(n-1)/2（条）。 |
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