要想学好函数图像并做好与函数图像有关的数学题,最首要的任务,当然是要熟练掌握一些基本函数的图像了。 我所说的基本函数,包括基本初等函数,还有就是解题时最常用到的一些常见函数。 比如双曲函数,还有导数中的六个基本函数等。 下面,还是带大家先了解下相关的函数图像。 最简单的,当然就是一次函数y=kx+b了。 要记住的是,k>0时单调递增,k<0时单调递减, 与y轴的交点为(0,b)。 最难但也是最熟悉的,肯定是二次函数 说它是最难的,应该是因为它是三角函数之前,我们接触的唯一一个不单调的函数吧。 从图像中也不难发现,三个系数a、b、c在图像中是各司其职分工明确的: a决定了抛物线的开口方向和张口的大小,b决定了抛物线对称轴的位置,c决定抛物线上下的位置。 不过讲真的,二次函数的值域是真的重要的,尤其在复合函数中。 其次,二次方程零点的分布,也是最常见的考题哦。 反比例函数,我自认为也是很重要的。 尤其是它的图像,可是和我们说的圆锥曲线中的双曲线,是一样一样的。 另外,值得关注的是,从这里开始,其实我们就接触了”渐近线“这个很特别的概念。 不过,对于图像来说,这个渐近线真的是很重要的,而且往往会成为我们解题的盲点所在。 这个,其实就是反比例函数图像平移后的结果,我们一般称之为”双曲函数“。 当然是因为图像依然是双曲线的原因了。 显然的,因为 两条渐近线便理所应当的为: 其实上面的这种形式,应当是大家最熟悉的了。 传说中很形象的”对勾函数“。 其实,它也是”双曲函数“的一种,毕竟a、b异号时没有”对勾“的存在。 不过如果是”对勾“时,一定要注意取得极值时的条件。因为基本不等式的雏形其实也是它的。 因为对于指数式的熟悉,指数函数其实同学都是不陌生的。 它的图像也真的是简洁明了。记住两个关键点:(0,1)和(1,a)。 对数式相对于许多孩子来说,因为初中并没有接触过,可能还是要陌生一点。 不过仔细看一看,也还好吧,因为图像也是单调的。 和指数函数一样,也要关注两个特殊点:(1,0)和(a,1)。 这个动图,反映了指数函数与对数函数之间的关系。 可能很多的同学,都已经淡忘了”反函数“这个概念了吧。 互为反函数的两个函数,图像是关于y=x对称的。 幂函数,其实我并不喜欢。 主要是还是因为,考题中还是很少会涉及到它的吧。 当然,二次函数和三次函数与它还是很密切的。 如果讲图像的变换,首选函数当然是三角函数了。 也是一定要弄清楚三个参数在图像中的作用的。 A:又叫振幅,主要是反映了图像上下的高度。 ω:反映图像的疏密程度,其实也就是周期了。它的值越大周期越小,它的值越小,周期越大。 Φ:又称初相,反映图像的左右位置,它的改变会导致图像左右的平移。 除了这些基本函数的图像,还有要掌握的,就是导数中的六个常考函数。 真的是最常考的,也是学导数必须要掌握的导数基本函数。 它们分别是: 下面,就是它们的图像了。 好了,掌握了上面这些基本函数的图像,第二件事,就是要熟练掌握图像变换的基础知识了。 图像的变换主要有平移、伸缩和对称变换。对于我们来说,自从有了三角函数以后,熟练掌握三种变换应该还是不太难的。 一、平移变换: 平移变换遵循“左加右减”的原则。 ①若a>0,则f(x+a)是由f(x)的图像向左平移a个单位长度得到,f(x-a)是由f(x)的图像向右平移a个单位长度得到。 ②若b>0,则f(x)+b是由f(x)的图像向上平移b个单位长度得到,f(x)-b是由f(x)的图像向下平移b个单位长度得到。 二、伸缩变换: ①f(a·x)是由函数f(x)图像上所有点的纵坐标保持不变,横坐标拉伸或压缩到原来的a倍所得到。 a>1为从左右两侧向y轴压缩 0<a<1为从y轴向左右两侧拉伸 ②a·f(x)的图像是由f(x)图像上所有点的横坐标保持不变,纵坐标拉伸或压缩到原来的a倍得到。 a>1为从x轴向上下拉伸 0<a<1为上下向x轴压缩 三、翻折变换 ①|f(x)|的图像做法:做f(x)在x轴下方部分关于x轴对称图像,并将x轴下方部分擦去,x轴上方部分保持不变。 ②f(|x|)图像做法:擦去函数f(x)在y轴左侧部分图像,右侧部分保持不变,并做其关于y轴对称图像。 一、图像判断 给定解析式,判断函数的图像,主要从以下几个方面着手进行排除确定。 ①定义域 ②奇偶性(对称性) ③特殊的点或线:与坐标轴交点、渐近线。 ④函数值的分布:指的是函数值的正负、大致范围或极限值。 ⑤单调性:图像自左向右上升或下降的走势 ⑥凹凸性 二、解不等式 不等式f(x)>g(x)的几何意义为:曲线f(x)在曲线g(x)上方部分图像上所有点的横坐标取值集合。 根据不等式的几何意义,可以很方便的解不等式。 三、零点问题 函数y=f(x)的零点就是相应方程f(x)=0的根,也可以通过分离函数转化两图像的交点。 四、研究函数性质 通过函数的图像,可以直观反映出函数的单调性、对称性、最值及极值点等性质。 相关链接: |
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