【解题研究】(2021江苏常州27)几何新定义·全等三角形·几何变换综合

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2021江苏常州27

     在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．

（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 　 　（填“B”、“C”或“D”）；

②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 　     　；

（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；

（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

试题分析

（1）①根据关联点的定义判断即可．

②构造等腰直角三角形PTM，可得结论．

（2）如图2﹣1中，当M，Q是互相关联点，设Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，如图2﹣2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，如图2﹣3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，如图2﹣4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，分别求出四种特殊位置的m的值可得结论．

（3）由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G．设Q（t，﹣2t+1）．分两种情形，构造全等三角形，利用全等三角形的性质构建方程解决问题即可．

斜直角放正模型（构造全等或相似）

   遇斜直角时，考虑构造“一线三直角”（或称K型或弦图相似），具体为：

如图，∠ACB是直角，则有两种构造相似的方式（在坐标系中，常作横平竖直线），易证明△ACD∽△CBE，进而又能得到对应线段成比例。

在原题中只出现类似于∠ACB这样斜放的直角，因此我们往往要有“改斜归正”的思想，利用“修正大法过这直斜放的直角顶点，画出铅直--水平的垂线，”构造“K”型（一线三直角），总结一点就是“见直角造k型”，巧妙解题。

几何新定义

几何新定义问题成为近年来中考题中的新亮点，命题者按照一定规则的定义，给出学生没研究过的几何图形，要求学生读懂并结合已有知识，根据新定义进行探究和解决一系列问题，我们把它称为“几何新定义”问题。要求考生现学现用，主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力。给什么，用什么，是“几何新定义”问题解题的基本思路。

题目解析

解：（1）①B．

解法提示：

如图1中，取点T（0，2），连接MT，BT，

∵M（﹣2，0），B（2，0），

∴OT＝OM＝OB＝2，

∴△TBM是等腰直角三角形，

∴在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是点B．

②（﹣2，0）．

解法提示：

取点T（0，﹣1），连接MT，PT，则△MTP是等腰直角三角形，

∴线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 （﹣2，0）．

（2）如图2﹣1中，当M，Q是互相关联点，设Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，

过点Q作QH⊥y轴于H，

∵∠QHT＝∠MOT＝∠MTQ＝90°，

∴∠MTO+∠QTH＝90°，∠QTH+∠TQH＝90°，

∴∠MTO＝∠TQH，

∵TM＝TQ，

∴△MOT≌△THQ（AAS），

∴QH＝TO＝﹣m，TH＝OM＝2，

∴﹣2m+1＝2﹣m，

∴m＝﹣1．

如图2﹣2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，此时m＝0，

观察图象可知，当﹣1≤m≤0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，

如图2﹣3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，设Q（m，﹣2m+1），

过点Q作QH⊥y轴于H，同法可证△NOT≌△THQ（AAS），

∴QH＝TO＝m，TH＝OM＝1，

∴1﹣2m+1＝m，

∴m=  ．

如图2﹣4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m＝1，

观察图象可知，当  ≤m≤1时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′，

解法二：在MN上任取一点Q'，然后作出Q'的两个关联点Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象限，则可以求出Q'的坐标是分别是（m﹣1，0）、（1﹣3m，0），再根据﹣2≤x≤﹣1可以求出m的取值范围．

综上所述，满足条件的m的值为﹣1≤m≤0或  ≤m≤1．

（3）如图3﹣1中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G．设Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EGT＝∠QTE＝90°，

∴∠QTH+∠ETG＝90°，∠ETG+∠GET＝90°，

∴∠HTQ＝∠GET，

∵TQ＝TE，

∴△THQ≌△EGT（AAS），

∴QH＝TG＝﹣t，TH＝EG＝4，

∵OH＝﹣2t+1，OG＝2，

∴﹣2t+1﹣4＝2+t，

∴t＝  ，

∴Q（  ，  ）．

如图3﹣2中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G．设Q（t，﹣2t+1）．

∵∠QHT＝∠EGT＝∠QTE＝90°，

∴∠QTH+∠ETG＝90°，∠ETG+∠GET＝90°，

∴∠HTQ＝∠GET，

∵TQ＝TE，

∴△THQ≌△EGT（AAS），

∴QH＝TG＝t，TH＝EG＝4，

∵OH＝2t﹣1，OG＝2，

∴2t﹣1﹣4＝t﹣2，

∴t＝3，

∴Q（3，﹣5）．

综上所述，满足条件的点Q的坐标为（  ，  ）或（3，﹣5）．

解题反思

1.本题解题的关键是学会构造等腰直角三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

      2.要关注斜直角放正模型（构造全等或相似）应用