【原】项名达《下学葊算书》“正弦公式”之应用

项名达《下学葊算书》“正弦公式”之应用

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：本文取自清‧项名达着之《下学葊算书二》，主要介绍该书之“正弦公式”。清代数学界流行所谓比例四率，“正弦公式”亦以比例四率方式表达，其运算法与现代数学配合。

关键词：下学葊算书  正弦公式  股旁角  勾旁角 正弦

第 1 節  《下學葊算書二》之正弦公式簡介

项名达，字步莱，号梅侣，浙江钱塘﹝今杭州﹞人。祖籍安徽歙县。生于乾隆五十四年﹝即公元1789年﹞，卒于道光三十年﹝即公元1850年﹞。

本文主要介紹項名達《下學葊算書》之正弦公式之應用。

以下各題皆取材自《下學葊算書三種‧平三角和較術‧勾股形》。“平三角”指平面三角，主要為平面直角三角形，本文指出該書正弦公式之應用。

“正弦公式”又稱為“正弦定理”（The Law of Sines），其定理曰：對於任意三角形ABC，若其角分別為∠A、∠B 、∠C，其對邊分別為 a、b 及 c，R為三角形ABC之外接圓半徑，則以下等式成立：

 = = = 2R。此即為正弦定理或正弦公式。

正弦定理並不深奧，証明亦容易，屬於現代之高中數學三角課程，故其証明法，可參閱一般中學數學書籍。

以下之題目在現代之高中三角課程中亦罕見，故《下學葊算書》值得深入探索。

若直角三角形ABC之弦 = c，勾BC = a，股 AC = b，以下各題皆用此三數，又依慣例，股 > 勾，即 ∠B >45^o。

以下為《下學葊算書》一角之正弦表示法：

1.         ∠A 是為股旁角，股旁角正弦即 sin A﹝見上圖﹞。

2.         ∠B 是為勾旁角，勾旁角正弦即 sin B﹝見上圖﹞。

3.         半直角四十五度正弦即 sin 45^o = 。

《下學葊算書》之正弦公式之表示法：

清代數學界流行所謂“比例四率”，即 = ，移項得：

四率 = 。此四率之算法與正弦公式配合，故可視之為正弦公式之應用。若正弦公式為 = ，視之為比例四率，則 a 為一率，sin A為二率，b 為三率，sin B為四率，通常未知數安排為第四率。

第 2 節  《下學葊算書》涉及正弦公式之問

﹝一﹞有弦有勾股較求兩角

題意指已知勾股形之弦及勾股較，求兩銳角。

解：

先作圖如下：

先作勾股形ABC，在股 AC取一點 D，使 CD = CB = a，BCD 成為等腰勾股形，∠DBC = 45^o。AD = b – a 是為勾股較﹝“較”即“差”﹞，弦 AB 為 c。弦與勾股較乃已知數，求∠A 及 ∠ABC。

以下為弦與勾股較圖：

從上圖可知，∠ADB = (180 – 45)^o = 135^o。今先求∠ABD。

在 ∆ADB中，依正弦定理可知：

=

sin∠ABD = sin 135^o × = sin 45^o × =

﹝因為 sin 135^o= sin 45^o﹞。

∠ABD = sin ^{– 1} ，

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = sin ^{– 1} + 45^o。

∠BAC = 45 ^o – sin^{– 1} 。

《下學葊算書》曰：

法以弦為一率，勾股較為二率，半直角四十五度正弦為三率，求得四率為半較角正弦，以半較角與半直角相加為勾旁角，相減為股旁角。

用比例四率，即 = ，四率 = 。

此四率之算法與正弦公式配合，故可視之為正弦公式之應用。

弦 c為一率，勾股較b – a為二率，四十五度正弦= sin 45^o = 為三率，

四率 = sin 45^o × = 。此即為“半較角”之正弦，即 sin∠ABD。

所以半較角=∠ABD = sin ^{– 1} ，

所以勾旁角 = sin ^{– 1} + 45^o；股旁角 = 45 ^o – sin ^{– 1} 。

其結果與現代算法相同，即項名達算法配合“正弦定理”。

驗算：

今有一勾股形如下圖：

若 c = 2，b – a = √3 – 1，設 ∠A 及 ∠B 為未知，可知：  

∠ABD = sin ^{– 1}  = sin ^{– 1}= sin ^{– 1}= sin^{– 1} 0.88048 = 15^o。

或曰因為 sin15^o = ，所以 sin ^{– 1}= 15^o。

即可得∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 15^o + 45 ^o = 60^o。

又可得∠BAC = 45^o – 15^o = 30^o。

答：此勾股形之兩角分別為 60^o 及 30^o。

﹝二﹞有弦有勾股和求兩角

題意指已知勾股形之弦及勾股和，求兩銳角。

解：

先作圖如下：

先作勾股形ABC，延長股 AC 至E，使 CE = CB = a，BCE 成為等腰勾股形，顯然 ∠BEC = 45^o。AE = b + a 是為勾股和，弦AB為 c。弦與勾股和AE乃已知數。

以下為有弦與有勾股和圖：

在 ∆ ABE 中，今先求∠ABE。依正弦定理可知：

= =

sin∠ABE = sin 45^o × = sin 45^o × = 。

∠ABE = sin ^{– 1} ，因∠ABE為鈍角，取 ∠ABE = 180^o – sin ^{– 1} 。

∠ABC = ∠ABE – ∠EBC = 180^o – sin ^{– 1} – 45^o = 135 ^o – sin ^{– 1} 。

∠BAC = 90 ^o – (135 ^o – sin ^{– 1} ) = sin ^{– 1} – 45 ^o。

注意以上兩角和為 90 ^o。

《下學葊算書》曰：

法以弦為一率，勾股和為二率，半直角四十五度正弦為三率，求得四率為半較角餘弦，如前加減得兩角。

依舊用比例四率，即 = ，移項得：

四率 = 。

弦 c為一率，勾股和b + a為二率，四十五度正弦 = sin 45^o = 為三率，

四率 = sin 45^o × = 。此即為半較角之正弦，即 sin∠ABE。

即sin∠ABE = ，所以半較角 = 180^o – sin ^{– 1} 。

注意項名達用餘弦，容易引起混亂。

所以勾旁角 = sin ^{– 1} – 45^o。股旁角 = 135 ^o –sin ^{– 1} 。

其結果與現代算法相同。

依舊用正三角形之半驗算﹝見前圖﹞。若 c = 2，勾股和b + a = √3 + 1，求兩角。從圖可知： 

∠ABE = sin ^{– 1} = sin^{– 1}= sin ^{– 1}= sin^{– 1} 0.96592 = 75^o。

或曰因為 sin 75^o= ，所以 sin^{– 1}= 75^o。

注意 sin 75^o= cos 15^o，為保留15^o 之數，故項名達用“餘弦”，見上述引文。

因∠ABE為鈍角，取 (180 – 75) ^o = 105 ^o。可得：

∠ABC = 105 ^o– 45 ^o = 60 ^o。

∠BAC = 90^o – 60 ^o = 30 ^o。

答：勾股形之兩角分別為 60^o 及 30^o。

﹝三﹞有兩角有勾股較，求勾、股、弦。

題意指已知勾股形之兩角及勾股較，求勾、股及弦。

解：

若直角三角形ABC之弦 AB = c，勾 BC = a，股 AC = b，皆為未知數；

若∠ABC = β及 b – a 是為勾股較 = p 是為已知數。

今設 θ = β – 45^o = ∠ABD。因兩角之和必為 90^o，故知其一角即可，現代術語稱之為“自由度為1”。注意若知θ 亦算知兩角。

先作圖如下：

先作勾股形ABC，在股 AC取一點 D，使 CD = CB = a，BCD 成為等腰勾股形，∠DBC = 45^o。AD = b – a = p是為勾股較為已知數。又延長股 AC 至E，使 CE = CB = a，BCE 成為等腰勾股形，∠BEC = 45^o。AE = b + a 是為勾股和。顯然∠DBE = 90^o。

∠ABD = θ 與勾股較 p 乃已知數，求勾、股及弦。

已知角與勾股較圖：

在 ∆ADB中，依正弦定理可知：

= = ，代入得：

=

移項得 c = = 。

又在 ∆ABE中，又依正弦定理可知：

=

=

b + a = × cos θ﹝見附注﹞

= c√2 cos θ

=√2 cos θ﹝將 c 代入﹞

= p cot θ。

因為 b – a = p，即可知：

b = (pcot θ + p) = (cot θ+ 1) 。

a = (cot θ – 1) 。

附注： sin (90 + θ) = sin[180 – (90 – θ)] = sin (90 – θ) = cos θ。

《下學葊算書》曰：

法以半較角正弦為一率，半直角正弦為二率，勾股較為三率，求得四率即弦。又以半徑為一率，半徑角餘切為二率，勾股較為三率，求得四率即勾股和。迺與勾股較相加，折半為股；相減折半為句。

一率為半較角正弦即 sin θ，二率為半直角正弦即 sin 45^o=，三率為勾股較 = b – a = p。

四率為弦為 c = = 。

一率為半徑，二率為半徑角餘切，三率為勾股較 = b – a = p。此說法項名達欠清晰，應為：

二率為半較角餘切cot θ，三率為勾股較p。

“半徑角”顯然為“半較角”。又若半徑為一則合。

四率為勾股和為b + a = = pcot θ。

與勾股較相加，折半為股即 (cot θ+ 1) 。

與勾股較相減，折半為勾即 (cot θ – 1) 。

依舊用正三角形之半驗算﹝見前圖﹞。若兩角為 60 ^o 與 30 ^o 為未知數，而勾股較 = b – a= √3 – 1。

依上圖可知 θ = 15^o 為已知數，其相關三角函數亦為已知。

c = = = = 2。﹝注意 sin 15^o =﹞

b + a = p cot θ = (√3 – 1) ×= √3 + 1。因為cot 15 ^o = 。

即可知 b = √3 及 a = 1。

或作如下之運算：

已知 cot 15^o = ，又已知股 = (cot θ+ 1) ，勾 = (cot θ – 1) ，

b = (cot θ + 1) = ( + 1) = ()

= √3。

a = (cot θ – 1) = ( –1) = ()

= 1。

答：勾股形之勾長為1，股長為 √3 及弦長為2。

由於代入數目所算出之答案正確，故代數式之答案亦正確。

﹝四﹞有兩角有勾股和，求勾、股、弦。

題意指已知勾股形之兩角及勾股和，求勾、股及弦。

解：

若直角三角形ABC之弦 AB = c，勾 BC = a，股 AC = b，皆為未知數；

若∠ABC = θ + 45^o，另一角必為 45 ^o – θ，及 b + a 是為勾股和 = q 是為已知數。

先作圖如下：

先作勾股形ABC，延長股 AC至E，使 CE = CB = a，BCE 成為等腰勾股形，即 ∠BEC = 45^o。AE = b + a = q 是為勾股和。

又在股 AC取一點 D，使 CD = CB = a，BCD 成為等腰勾股形，∠DBC = ∠CDB = 45^o。所用之圖與上題相若。以下為已知角與勾股和圖：

上圖之 ∠ABD = θ 與勾股和 q 乃已知數，求勾、股及弦。

在 ∆ABE中，依正弦定理可知：

=

=

= c

c =。此即為弦長。

又在 ∆ADB中，依正弦定理可知：

= =

=

移項得 b – a = c√2 sin θ。將 c之值代入得：

b – a = √2 sin θ = q tan θ。

因為 b + a = q，依公式即可得：

所以 b = (q tan θ + q) = (1+ tan θ)。

a =(q – q tan θ) = (1 –tan θ) 。

《下學葊算書》曰：

法以半較角餘弦為一率，半直角正弦為二率，勾股和為三率，求得四率即弦。又以半徑為一率，半較角正切為二率，勾股和為三率，求得四率即勾股較。如前加減得句股。

一率為半較角餘弦即 cos θ，二率為半直角正弦即 sin 45^o=，三率為勾股和 = b +a = q。四率即弦。

四率為弦為 c = = = 。此即為弦長。

又若一率為半徑，二率為半較角正切 tan θ，三率為勾股和即 b – a = q。

四率為勾股較為 b – a = = = qtan θ。故半徑為 1 則合。

與勾股和相加，折半為股即 (1+ tan θ) 。

與勾股較相減，折半為勾即 (1 –tan θ) 。

依舊用正三角形之半驗算﹝見前圖﹞。若兩角為 60 ^o 與 30 ^o ，而勾股較 = b +a = √3 + 1 = q。

又依上圖可知 θ= 15^o。代入數字得：

c = = = × = 2。

﹝因為 cos 15 ^o = ﹞

已知 tan 15^o = ，又已知股 = (1+ tan θ) ，勾 = (1 –tan θ)，

所以 b = (1+ tan θ) = ( + 1) = ()

= √3。

a =  (1 –tan θ) = (1 –) = ()

= 1。

答：勾股形之勾長為1，股長為 √3 及弦長為2。

與上題同，由於代入數目所算出之答案正確，故代數式之答案亦正確。

《下學葊算書》提出一條非常重要之三角公式：

觀此四題，知勾股和較之比例，與半較角餘弦正弦等，而比其弦者，即為半直角正弦也。

文意指一勾股形ABC，所對之邊分別為a、b 及c，則 =。

注意 θ 之位置及定義﹝見前圖﹞。

証明：

從前題可知勾股和 b + a = × cos θ ---------------------- (1)

勾股較 = b – a=× sin θ------------------------------------- (2)

(1)   ÷ (2) 即可得：=。其實  可化簡為 cot θ。

依舊用正三角形之半驗算﹝見前圖﹞。若 a = 1，b = √3 及 c = 2，則：

=，θ = 15^o，所以 cot 15^o =。

至於引文之後半部可能指以下情況：

從 (1) 可知sin 45^o = 。

從 (2) 可知sin 45^o = 。

等號右方兩式相等。

以下為《下學葊算書》原文：