【原】好色之“涂”

编者的话：好色之徒，现在的人谈论起来鄙视，认为是贬义。但是在我看来好色并非不赦，

怜香惜玉而不动心者，圣也；惜玉而怜香而动心者，人也；不知玉不知香者，禽兽也。人非圣人，安有见色而不动心着？其所以怜香惜玉者，人易于禽兽也。世之讲理学者，劝以好色为戒；则讲理学者，岂即能为圣人也？伪饰而作欺人语，殆自媲玉禽兽耳。世无柳下惠，谁是坐怀不乱？然柳下惠但曰不乱也，非曰不好也！男女相悦，大欲所存。天地生物之心，本来如此。庐杞家无姬妾，卒为小人;谢安挟妓东山，终为君子。好色不管人品，何必故自违言哉

因为有着世界近代三大数学难题之一“四色间题”的背景，涂色问题在高考和竞赛中经常出现，这类问题有着丰富多彩的生活背景，且灵活多变，能很好地考察人们的观察分析能力，分类讨论能力和等价转换能力等，同时它又是中学教学内容中比较困难的一个问题。

解决这类问题的方法也有依次去涂和按所用颜色种数分类讨论两种。作题时只要弄清条件和图形的结构，再把每种结构下解决问题的方法弄清楚，就可以了。下面我们就用颜色分类来解决这类问题。

例1、用5种颜色给下图中的五个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，那么共有多少种不同的涂色方案？

对于涂色问题，我们按照颜色来分类，首先观察有哪些区域的颜色可以相同，至少需要多少颜色。

颜色可以相同的区域可以是AD，AE，BE，显然至少需要三种颜色。

接下来分类：

第一类：需要三种颜色，由于有5个区域，且着色区域相同最多有两个，所以三个正整数和为5，且最大为2的情况只有2+2+1=5。

AD—BE—C，有5×4×3=60。

第二类：需要四种颜色，由于有5个区域，且着色区域相同最多有两个，所以四个正整数和为5，且最大为2的情况只有2+1+1+1=5。

AD—B—E—C，有5×4×3×2=120；

AE—B—C—D，有5×4×3×2=120；

BE—A—C—D，有5×4×3×2=120。

第三类：需要五种颜色，由于有5个区域，且着色区域相同最多有两个，所以五个正整数和为5，且最大为2的情况只有1+1+1+1+1=5。

A—B—C—D— E，有5×4×3×2×1=120；

共有60+120×3+120=540种。

例2、如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？

对于涂色问题，我们按照颜色来分类，首先观察至少需要多少颜色，以及有哪些区域的颜色可以相同。

颜色可以相同的区域可以是BD，BE，CE，CF，DF，显然需要四种颜色。

需要四种颜色，由于有6个区域，且着色区域相同最多有两个，所以四个正整数和为6，且最大为2的情况只有2+2+1+1=6。

BD—CE—A—F；BD—CF—A—E；BE—CF—A—D；BE—DF—A—C；CE—DF—A—B，有5种。

共有5×4×3×2×1=120种。

例3、将3种作物种植在如图的5块试验田里， 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？

分析题意，显然这三种作物都要种植，即用三种颜色（都要用上）涂五个区域，对于涂色问题，我们有哪些区域的颜色可以相同。

颜色可以相同的区域可以是ACE，AC，AD，AE，BD，BE，CE。

需要三种颜色，由于有5个区域，且着色区域相同最多有三个，所以三个正整数和为5，且最大为3的情况只有3+1+1=5与2+2+1=5。

3+1+1型：ACE—B—D，共1种。

2+2+1型：AC—BD—E；AC—BE—D；AD—BE—C；AD—CE—B；AE—BD—C；BD—CE—A，有6种。

共有7×3×2×1=42种。

例4、将一个四棱锥的每个顶点染色，并使一条棱的两端异色，若只有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有多少种。

 对于涂色问题，我们按照颜色来分类，首先观察有哪些区域的颜色可以相同，至少需要多少颜色。

颜色可以相同的区域可以是AC，BD，显然至少需要三种颜色。

接下来分类：

第一类：需要三种颜色，由于有5个点，且着色区域相同最多有两个，所以三个正整数和为5，且最大为2的情况只有2+2+1=5。

AC—BD—P，有4×3×2=24。

第二类：需要四种颜色，由于有5个区域，且着色区域相同最多有两个，所以四个正整数和为5，且最大为2的情况只有2+1+1+1=5。

AC—B—D—P；BD—A—C—P，有2种。

有2×4×3×2×1=48。

共有24+48=72种。

例5、某城市在广场建造一个圆环形花圃，如图，花圃分为六个部分（中间为实物），现要栽种4种不同颜色的花，要求每一部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？

对于涂色问题，我们按照颜色来分类，首先观察至少需要多少颜色，以及有哪些区域的颜色可以相同。

显然至少需要两种颜色，颜色可以相同的区域可以是ACE，BDF，AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF。

接下来分类：

第一类：需要两种颜色，由于有6个区域，且着色区域相同最多有三个，所以两个正整数和为6，且最大为3的情况只有3+3=6。

ACE—BDF，有4×3=12。

第二类：需要三种颜色，由于有6个区域，且着色区域相同最多有三个，所以三个正整数和为6，且最大为3的情况有3+2+1=6与2+2+2=6两种。

3+2+1型：ACE—BD—F；ACE—BF—D；ACE—DF—B；BDF—AC—E；BDF—AE—C；BDF—CE—A，共6种。

2+2+2型：AC—BE—DF；AD—BE—CF；AD—BF—CE；AE—BD—CF，共4种。

有10×4×3×2=240。

第三类：需要四种颜色，由于有6个区域，且着色区域相同最多有三个，所以四个正整数和为6，且最大为3的情况只有3+1+1+1=6与2+2+1+1=6。

3+1+1+1型：ACE—B—D—F； BDF—A—C—E，共2种。

2+2+1+1型：AC—BD—E—F；AC—BE—D—F；AC—BF—D—E；AC—DF—B—E；AD—BE—C—F；AD—BF—C—E；AD—CE—B—F；AD—CF—B—E；

AE—BD—C—F；AE—BF—C—D；AE—CF—B—D；AE—DF—B—C；

BD—CE—A—F；BD—CF—A—E；BE—CF—A—D；BE—DF—A—C；

BF—CE—A—D；CE—DF—A—B，共18种。

有（2+18）×4×3×2×1=480。

共有12+240+480=732种。   

对于涂色问题，我们都可以按照颜色来分类，按照确定颜色个数，分区划分，排列的顺序完成，并且这样的方法避免了在分步涂色中对颜色是否相同进行复杂的讨论，进而准确快速地解决问题。但是遇见情况较多的时候，可能划分区域就会显得有一些复杂，譬如例5，那么这类问题能否快速地解决，敬请期待近期推出的《殊途同归》。

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