草根公开课|角的平分线的性质(习题课)

7月12日，我在武汉洪山区开设了一节《角的平分线的性质(习题课)》公开课（人教版）.由于诸多原因，课题是7月11日才确定下来的，在去武汉的高铁上备的课，可以说是我准备期最短的一节公开课.

教学目标：

1、复习角的平分线的性质，能用角的平分线的性质解决较复杂的数学问题；

2、经历对于数学问题探究的过程，实践分析几何问题的基本方法，尝试在较复杂的问题中挖掘隐含条件，发展逻辑思维能力和推理论证能力.

重点和难点：

重点：综合运用角的平分线的性质解决几何较复杂的数学问题.

难点：在较复杂的问题中挖掘隐含条件.

教学过程：

引例：已知,如图,在△ABC中,∠A=50°,若∠ABC和∠ACB的平分线交于点D

（1）请问图中是否有大小确定不变的角，并求出该角的度数；

（2）联结AD，请问图中是否产生新的大小确定不变的角，并求出该角的度数.

解（1）∠D大小不变

∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB

∴ ∠ABD=∠DBC=α，∠ACD=∠DCB=β

∵ 在△ABC中，

∠A+∠ABC+∠ACD=50+2α+2β=180°，

∴ α+β=65°

∵ 在△DBC中,

∠D+∠DBC+∠DCB=180°，

∴ ∠D=180-65=115°

（2）∠BAD、∠CAD大小不变

过点D分别作DH1⊥BC于H1，

DH2⊥AB于H2，DH3⊥AC于H3

∵ BD平分∠ABC，

DH1⊥BC于H1，DH2⊥AB于H2

∴ DH1=DH2，同理可证，DH1=DH3

∴ DH2=DH3，

∴ 点D在∠BAC的角平分线上

即AD平分∠BAC

∴ ∠BAD=∠CAD=(1/2)∠BAC=25°

师：从本题解决过程看，我们可以得到怎样的结论？

答：三角形三条内角平分线交于一点，该点到三角形的三边距离相等

师：若三角形中两条内角平分线交点确定，第三条角平分线也随之确定，如果说这两条内角平分线是显性条件，那么这第三条角平分线就是藏在这两条角平分线背后的隐性条件。

变式：已知,如图,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC和∠ACB外角的平分线交于点D，

（1）请问图中是否有大小确定不变的角，并求出该角的度数；

（2）延长BA，联结AD，请问图中是否产生新的大小确定不变的角，并求出该角的度数.

简证：2β=2α+∠A，β=α+∠D，

∴ ∠D=(1/2)∠A=25°

简证：DH1=DH3，DH1=DH2，

∴ DH2=DH3，

∴AD平分∠CAE，∠CAD=∠EAD=65°

师：从本题解决过程看，我们可以得到怎样的结论？

答：三角形两条外角平分线和一条内角平分线交于一点，该点到三角形的三边所在直线距离相等

师：就本题而言，如果说这一条内角平分线和一条外角平分线是显性条件，那么这第三条外角平分线就是藏在这两条角平分线背后的隐性条件。

例1：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，在AC上有点D，联结DB，使得∠DBC=∠C，过点D做直线DH⊥BC交BC于点H，∠ABD的平分线交直线DH于点F，联结AF，

求证：AF∥BD.【课前画图，板演讲解】

（1）标注条件，初步分析：

师：通过标注条件，我们初步得到哪些信息？

答：∠ABF=∠FBD=∠DBC=∠C=α，……

师：初步设想一下，欲证AF∥BD，则可证什么？

答：证∠EAF=∠EBD=2α

（∠FAD=∠ADB=2α）

→∠EAD=4α→AF平分∠EAD

（2）让学生思考5分钟

（3）引导分析，挖掘隐含

（让学生充分发表想法）

分析：注意到，BF是∠ABD的平分线，即△ABD中∠ABD的平分线，本例需证明AF平分∠EAD，而∠EAD是△ABD中∠BAD的外角，那么DF是不是△ABD中∠ADB外角的角平分线呢？

板演：

AF∥BD←AF平分∠EAD←

在△ABD中,BF平分∠ABD,DF平分∠ADG

（隐含条件）

例2：如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠C的角平分线交AB于点E，在AC边上取点D使得∠CBD=20°，联结DE，

求∠CED的度数. 

【课前画图，板演讲解】

（1）标注条件，初步分析：

师：通过标注条件，我们初步得到哪些信息？

答：∠ABD=80°，∠DBC=20°，CE平分∠BCD……

（2）让学生思考5分钟

（3）引导分析，挖掘隐含

（让学生充分发表想法）

分析：可以发现仅通过“导角”，无法求得∠CED的大小，让我们回到条件80°、20°中，这其中是否隐藏着什么？

对！100°的补角是80°，即BE是△BDC中∠ADC的外角平分线.则DE平分∠BDA，∠CED=(1/2)∠DBC=10°

板演：

∠CED=(1/2)∠DBC=10°

←DE平分∠ADC←

在△ADC中,CE平分∠ACB,BE平分∠FBD

（隐含条件）

课堂小结：

师：想想我们这两道例题遇到的最大困难是什么？

答：部分条件没发现.

师：对！这就叫做“隐含条件”

隐含条件：是题设中隐蔽的条件，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和利用。

师：这两道例题中的隐含条件主要体现在哪些地方？

答：（1）两条显性角平分线背后的隐藏第三条角平分线；

（2）不易发现的一条“外角”角平分线

师：我们应该如何挖掘隐含条件？

第一条是几何性质层面，第二条是图形结构层面，从正面突破，可以采用补形或挖掘数量之间的关系，从反面突破，可以“由果索因”，抓住关键条件，猜想证明之必要条件.

课后反思

这是我个人记录的第29节公开课（校及校级以上），对于开课我一般是不拒绝的，认为这都是很好的锻炼的机会。正有了这么多次开课经历的积累，在这次公开课的进行过程中，我很快就进入了状态，与学生自然交流，完全没有受到场内众多观课老师的影响，对于课堂中的“突发”的情况也基本能处置得当。

这节课最大的问题，对于“学情”估计不足！

我7月12日开课，直至7月10日才真正与借班上课学校的相关老师联系上，开始探讨教学内容及学生状况。

我所得到的学情信息是：

① 上课的学生正值七年级升八年级，已经学习了《人教版》第十一章（三角形）、第十二章（全等三角形）两个章节，其中《角的平分线的性质》就是第十二章最后一节；

② 整个班级在年级中属于前列；

③ 课前相关教师提供给我的关于三角形内、外角角平分线计算的资料（建议教学方向）具有相当难度；

基于我研究了人教版教材中《角的平分线的性质》一节，我初步判断学生应该对于三角形内角平分线交于一点是熟悉的，对于三角形两条外角平分线一条内角平分线交于一点应该是了解的，但事实上对于这些知识学生总体比较陌生（这部分内容是期末后匆忙上的）。

对于此，我上课第一时间就发现问题了，但由于课程基本框架已定，我只能在现场，不断根据学生的生成调整自己的教学。我想虽然时间上确实很紧，但我如果能够更加积极地与对方沟通，主动提前给出自己的简案，听取相关教师的意见，那么在备课的过程中就能更好地契合学情，进展也许会更加顺利。

本节课我明线是复习角的平分线的性质，并在解决具体数学问题运用，暗线是想探讨隐含条件的挖掘。

隐含条件：是题设中隐蔽的条件，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和利用。

对于几何问题，隐含条件主要源于以下两种情况：① 几何性质；② 图形构成。

从正面分析，可以运用补形、补特征线段（运用性质）、挖掘数字背后的数量关系等；

从反面分析，可以“由果索因”，如果证明结论成立，能倒推出什么图形性质，而这些图形性质是否就是题目所隐藏的条件？

总体而言，这一明一暗两线贯穿课堂始终，加之最后充分的课堂小结，应该说基本达成了我课前设定的教学目标。

武汉是座英雄的城市，也是我心中所敬仰的城市，虽然来去匆匆（从晚9点到第二天下午3点）但我依然感受了这座城市的热情、乐观与豁达，感谢引荐我参与这次活动的前辈，感谢给予我帮助的相关教师，感谢当地教师的聆听、指导，今后有机会再会！