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推导高斯磁定律,它是如何否定磁单极的存在的?

2021-10-14  老胡说科学

麦克斯韦方程以一种相当优雅和数学上紧凑的方式描述了电和磁的相互作用。在这些方程中,高斯的磁定律对于理解电磁波和导电介质之间的相互作用极为重要。但是,这个定律往往被写成简单的形式:

  • 式1
它否认了自然界中磁单极的存在。当涉及到电荷时,我们通常可以认为它们是正的或负的。在这个意义上,当我们把某一空间的所有电荷加起来时,最后总是可以得到一个净电荷或者是零(中性电荷)。磁学的情况则不然。磁铁总是有两个极,北极和南极。即使把一块条形磁铁切成两半:也不会得到两个 "单极"。相反,你会得到两个较小的条形磁铁,每个都有自己的南北两极。因此,当你试图测量通过任何表面的净磁通量时,总是得到零:这意味着不可能存在磁单极,否则磁通量就会是零以外的数值。
尽管这个小方程很重要,但物理学和工程学的学生往往不知道这个方程是如何形成的,或者说它在数学上是如何实现的。在这篇文章中,我将向你介绍得出这一不可思议结果的步骤。

毕奥-萨伐尔定律(The Biot-Savart law)

为了开始讨论如何得出公式(1),我们必须首先了解磁场是如何形成的。从几个世纪前的一个小经验观察开始:所有的磁场都是移动电荷的结果。在这个意义上,物体中的每一个原子都拥有自己的磁场,这是由于电子围绕其原子核的运动造成的,但其方向随着时间的推移变化得非常快。
为了充分解释材料中的磁性现象,我们需要研究统计力学(这已经超出了本文的范围)。现在,我们将专注于宏观尺度的磁场。让我们从一个基本的观察开始:任何电流I = dq/dt都是由电子沿着导电材料的运动产生的。如果我们抓起一根宽度可以忽略不计的电线,并以任意的方式在空间中形成一个围绕中心参考点(例如原点)的环形,那么电流I将总是流向一个方向:电线本身的切线方向。然后,让我们定义一个无限小的导线元素dl,在每一点上都以切线为方向。根据实验证据,运动的电流会产生一个垂直于其运动方向的磁场(因此有一个叫作右手规则的东西)。考虑到这一事实,以及电流引起的磁场强度的经验公式I:
  • 式2
其中r是与电流源(导线)的距离。我们现在通过考虑导线dl的每个元素的贡献来建立一个总磁场。为此,我们考虑到每一点的磁场方向,这是由导线的切向分量和位置矢量之间的叉积给出的。
其中
是沿r-r'指向的单位矢量。这里,r是相对于坐标系的位移矢量,而r'是导线上每一点的无限小元素dl的位置。最后,把所有这些表达式放在一起,可以得到:
  • 式3
现在将这个方程的两边在导线的整个长度上进行积分,可以得到磁场的表达式:
  • 式4
这通常被称为毕奥-萨伐尔定律。这将是我们推导高斯磁定律的起点。

从毕奥-萨伐尔定律推导出高斯的磁定律

现在我们已经介绍了磁场作为空间位置函数的一个主要表达式,我们可以考虑在空间中每一点的场的散度会发生什么。首先,我们将定义几个非常重要的矢量微积分特性,即:
  • 方程5 (a) - (c)
这使得我们可以写出:
  • 式6
此外,我们还推导出以下表达式:
此外,利用标量三重积特性(scalar triple-product identity):
  • 式7
我们得出的结果是:
在这一点上,我们可以考虑到以下事实:
与𝝷=0,因为我们是在取一个向量与自身的叉积,所以我们得出结论:
另一方面,我们发现以下关系成立
通过一些基本的计算,我们很容易发现以下两个结果是真的
最后,简化所有这些项,我们可以得出磁场散度的结果:
  • 式7:高斯磁定律的微分形式
被称为磁场的高斯定律。这意味着什么并不明显,但是应用发散定理
  • 式8:高斯磁定律的积分形式
我们可以看到,通过一个任意表面的总磁通量必须正好为零。由此我们推断,一定没有磁单极存在,因为首先就没有磁通量可供测量。相反,我们只能测量单个磁偶极周围的磁通量,由于对立的两极,它总是零。


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