这里有一堆数学，但这是一个大问题。简而言之，它展示了一些非常重要的东西——光是一种电磁波。
好吧，让我们开始吧。
麦克斯韦方程组
我将简要回顾一下麦克斯韦方程组。真的，你花了整整一个学期的物理课程才达到这一点——但我们只是打算在一篇博文中做到这一点。
如果您需要麦克斯韦方程的“电梯间距”——它们是显示电场和磁场性质的四个方程。这包括字段的“形状”以及如何创建它们。哦，我将从麦克斯韦方程组的积分版本开始，然后我们可以讨论微分版本。
高斯定律
这是您在入门物理课程中看到的版本。
等式的左边是闭合曲面上的电通量。通量基本上是垂直于在整个表面上积分的表面的电场分量。在这个方程中，圆的积分意味着它是一个表面积上的“封闭”积分（我们知道它是一个表面积分，因为 dA（面积元素）。最后，n-hat 是单位向量法线（垂直）到该地区。
右侧是该表面所包围的体积内的总（净）电荷。常量 (ε-0) 的值通常写为：
但这条定律真正说的是电荷产生电场。这些电场远离正电荷指向负电荷。
由正电荷和负电荷引起的电场。
高斯磁性定律
这个有点奇怪——只是真名是说它像高斯定律，但又不像。是为了磁场。看起来像这样。
这表示闭合曲面上的磁通量为零。对此的另一种解释是表面内部的净“磁”电荷为零。对于任何表面都是如此——或者说没有单独的磁荷可能更容易。没有磁单极子。好吧，冷静点。有可能确实存在磁单极子。如果我们找到了一些，那么我们就可以改变这个等式。
法拉第定律
是的，你可以用电荷制造电场（见高斯定律），但正如尤达所说，卢克天行者是他们最后的希望：
不，还有一个。
产生电场的另一种方法是改变磁通量。
这个等式的左边很疯狂。它表示电场的闭合线积分不为零（但请记住，电场是保守的，因此应该为零）。右侧是受同一弯曲路径限制的区域上的磁通量（对于电场积分）。
因此，我们可以将电场分为两组（我使用的是我最喜欢的物理教科书中的术语——物质和相互作用）。第一个是电荷引起的“库仑”场。这些是与高斯定律相关的字段。第二种场（来自法拉第定律）可以称为“卷曲”场，因为闭环上的路径积分不为零。
这是一张照片。
哦，让我指出一些关于法拉第定律的事情。
- 请注意，磁通量（右侧）没有闭合积分。它不是封闭曲面，而是受曲线约束。
- 那个负号呢？这有点复杂（它在微分形式下效果更好）。基本上，它给出了卷曲字段的方向（让我们就此打住）。
- 是的，有一个时间导数。卷曲场取决于磁通量的时间变化率。
安培麦克斯韦定律
只是一个方程式。我将首先展示方程式。
简而言之，这表示有两种方法可以产生卷曲磁场。首先，您可以使用电流 (I_in) 创建卷曲 B 场。其次，你可以用变化的电通量制造一个卷曲的 B 场。基本上，除了两件事之外，这与法拉第定律是一样的：
- 它在磁场而不是电场（等式的左侧）和电通量而不是磁通量（右侧）上有一个路径积分。
- 还有一个额外的项——常数乘以 I_in。这是通过路径积分曲线所限定的表面积的电流。
这里的常数是：
此外，如果我们有磁单极子，法拉第定律也会有一个看起来像电流的术语——然后我们可以创建一个带有单极子电流（移动的单极子）的卷曲电场。
我认为我们已经为微分形式做好了准备。
麦克斯韦方程组的微分形式
不，我们还没有完成。还有很多事情要做。我将再次从高斯定律开始。让我定义一个新事物——电荷密度 (ρ)。这是每单位体积的费用。这意味着，如果我占据一些空间并对这个体积的电荷密度进行积分，我将得到该体积内的总电荷。
提醒一下——这确实是一个 VOLUME 积分，因为 dV 就在积分中。我的意思是，它可能应该是三重积分，但我们在这里都很成熟。正确的？这可以。
接下来，我需要使用散度定理。这表示如果你有一些矢量场 (F)，那么我们可以在表面积积分和体积积分之间建立关系。
同样，左边是面积积分，右边是体积积分。但是那个 ∇ 运算符呢（我称之为“Del”运算符）。在笛卡尔坐标中，此运算符如下所示：
我们可以用电荷密度的定义和散度定理来改写高斯定律。首先，用体积积分代替里面的电荷。
现在我可以使用散度定理将表面积分变为体积积分。
由于我在同一个空间上有两个体积积分，积分中的东西必须相同。就是这样。
这是对实际体积进行积分的高斯定律（这很有用）。
高斯磁性定律呢？我的意思是，我真的需要复习完整的推导吗？如果没有磁单极子，则磁荷密度为零。这给出了以下内容。
对于法拉第定律，我们需要另一个工具——斯托克斯定理。这表示对于某些矢量场，我可以在面积分和线积分之间建立关系。
在左边，我们有一个路径积分。在右边，有卷曲。旋度是 Del 算子和矢量场 (F) 之间的叉积。之后，您可以通过正常方式找到通量。
如果我们想将其与法拉第定律一起使用，我们需要对该时间导数做一些处理。好吧，由于磁通量仅取决于空间，我们可以将该导数带入积分中——但当你这样做时，它就变成了偏导数。现在我们有这个：
现在让我们使用斯托克定理将线积分转换为面积分。
就像以前一样，因为我们有两个面积积分，所以里面的东西一定是一样的。
对于安培-麦克斯韦定律，我们需要一些新东西——电流密度。通过电流密度（j，单位为安培每平方米），我们可以得到通过某个区域的总电流：
让我们再次使用斯托克定理来改变磁场的线积分以获得面积积分。
接下来，让我们看一下安培-麦克斯韦方程的右侧，将电流 (I_in) 替换为电流密度的表面积积分。让我们也将导数带入积分。
这两个面积积分都在同一面积上，因此我可以将它们组合在一起。现在引入斯托克的部分给出：
同样，积分中的内容必须相同。让我继续将所有四个方程式放在一起。
这就像复仇者联盟，只是他们只有四个人，而且他们没有超级英雄的服装。
波动方程
假设我有一根绳子，然后我以垂直于绳子的运动摇动它的一端。这会导致位移，但位移也会沿着弦的长度向下移动。这就是它的样子。
请注意，这是 y 与 x 的关系图，但它也会随时间变化。因此，y（位移）的值取决于您看的位置（x 值）和时间（t 值）。y、x 和 t 之间的关系称为波动方程。看起来像这样。
是的，v 是波速——脉冲沿着琴弦移动的速度。如果您想了解如何推导此波动方程。
需要明确的是，这表示某个函数 (y) 相对于时间的第二部分等于速度乘以相对于 x 的第二部分。但是你不必有一个物理波——你可以将它用于其他函数的波而不是空间 (y)。一般来说，这个波动方程可以适用于任何函数——我们称它为 f。
可是等等！对于某些矢量场（矢量 F），此波动方程也适用于 3 维。在那种情况下，它看起来像这样：
在这里，Del² 被称为拉普拉斯算子——它在笛卡尔坐标系中还算不错。
现在想象一些空间区域，其中没有自由电荷（因此 ρ 等于零）并且没有电流（因此 j = 0）。在这种情况下，我们可以将麦克斯韦方程组改写为：
接下来，让我们从法拉第定律开始，取两边的旋度：
现在看右边。我们有 B 相对于 t 的部分——但这只涉及时间。卷曲有 Del 只处理空间。由于两个操作员彼此没有任何关系，我可以调换顺序。
B 的旋度可以用安培-麦克斯韦定律代替：
接下来我们需要一个矢量标识。对于某些矢量场 (F)，F 的旋度等于：
将它与 E 的卷曲一起使用，我得到：
使用高斯定律和电荷密度为零的事实，Del dot E 也为零。我还可以将两边都乘以负 1，得到：
嗯。你好？这就是电场的波动方程。哦，但是等等！这也意味着我知道波速。
好的，现在是最酷的部分。让我们输入 μ_0 和 ε_0 的值。如果这样做，您将获得每秒 2.99 x 10⁸ 米的波速。哦，看看那个。它与光速相同。好的。
好的，为了完整起见，我需要看看磁场是否也是一种波。是的，我们将做一些非常相似的事情。我将从安培-麦克斯韦方程（电流密度为零）开始，计算两侧的旋度。
对于这个等式的右边，我可以使用法拉第定律从 E 切换到 B。
替换左侧卷曲的卷曲：
没有磁单极子（即使有——我们在真空中）使得 Del 点 B 为零。两边乘以负 1 和 BOOM。
也是波动方程。它还具有 c = 2.99 x 10⁸ m/s 的波速。
