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数学中最重要的证明之一,导致一个数学分支(数论)的诞生

2021-10-19  老胡说科学
数论是纯数学的一个分支,它提出了关于奇数、偶数、平方数、整数、复数等各类数字之间关系的问题。对于数论来说,最重要的一类数字是素数(质数)。素数是一个大于1的自然数且不是两个较小自然数的乘积。
数学中最著名的证明之一,恰好也是数论中最重要的证明之一。这个证明就是:

欧几里德关于素数无限性的证明‍

首先,假设存在有限数量的质数。
  • 素数的有限列表
现在取一个整数O,并设定它等于有限列表中所有质数的乘积加1:
  • 整数O(注意,O只有一种写法)
数字O只有两种情况,它要么是素数,要么不是。如果O是一个素数,那么它就属于有限素数列表。如果O不是素数,那么它是由素数组成的,那么就可以找到O的素因子。
O不是素数的结果是,O至少能被有限素数列表中的一个素数整除,但O除以任何一个素数,余数都为1。因此,要么O的质因数不在我们最初假设的有限素数列表中,要么O是素数。那么有限素数的列表就不完整。因此,存在着无限多的质数。

素数的可视化

欧几里德对质数的定义是:
  • 质数是仅用一个单位来度量的数。
质数中只有“单位”,当时所有的数学工作都是用直线来完成的。所以质数长度的直线只能容纳单位长度的直线,不能容纳其他长度的直线,比如2和3。下面是欧几里得质数的视觉表示:
数论并不像微积分那样以能够产生许多可视化的问题。尽管如此,还是有一些关于不同素数分布的有趣可视化。
  • 乌拉姆螺旋图是数学家斯坦尼斯瓦夫-乌拉姆设计的素数集的图形描述。
  • 用极坐标绘制30000以下的素数。
  • 极坐标上1e+006以下的素数。
  • 复数函数的图形。
数论是一个非常广阔的领域,它与许多其他领域相交叉,并产生更多需要解决的有趣问题。这个证明只是数论的复杂、简单和优雅证明的一小部分。


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