我国是习题王国，在国际奥林匹克数学竞赛一直名列前茅，在大型国际测试中数学成绩遥遥领先，这是巨大的成绩.
取得这样的成绩： 首先是优秀的数学教师队伍的支撑，根据马立平博士的研究，我国数学教师的水平远高于美国；其次是我国的优秀传统，如熟能生巧的理念，双基的实施等等.本章先介绍数学习题教学的五个流派，这集中反映了我国数学习题教学中优秀的传统、理念和做法. 当然，数学习题教学也存在着严重的问题，那就是题海战术盛行，本章对此也进行了评说.波利亚的著作，尤其是《怎样解题》，对我国的数学教学触动很大，激起了我国学者和教师深入地研究数学教学，特别是数学解题教学.
波利亚是著名数学家，他在合情推理方面的论述似乎更受人注意. 国外有报道说，学生无法根据这张解题表去解决问题，国内似乎也没有人声称按这张表解题. 并没有什么出奇的地方，解题时，自觉不自觉地大多有这样四个步骤. 这张表并不是一把万能的钥匙，更不是解题的纲领，它只是一串提示，也许会给解题者一点启发，但问题的解决还必须依靠解题者自己的努力. 没有必要去背这张表，可以根据实际情况问自己几个为什么，或给别人一些提示. 王梓坤院士评价了波利亚的著作之后，更对我国的教师和学者提出了要求：对中国的教育，中国人的思维的特点并不大了解，因此，我们更需要切合我国实际的相应著作. 20世纪90年代开始，华人的数学学习引起了世人的关注.国际数学测试一再证明华人地区学生的数学成绩十分优秀，但是另一方面，华人的数学学习给人的印象是，停留在记忆、模仿、练习、考试等等缺乏主动性的学习层面.为了回答这个“悖论”，中国学者深入进行了研究，最终写成了《华人如何学习数学》一书.我们中国的数学学习有自己的特点，首先是注重学习效率；同时还重视双基：华人学生有良好的记忆（九九表，公式法则的背诵），熟练的运算速度，逻辑的严谨表达以及“变式”的重复练习.这是符合“熟能生巧”的古训的，由此形成了中国数学教学的特色. 解题教学是数学教学中的一个重要组成部分，在中国数学习题教学必然打上以上的烙印.我国的数学教师是富有创造力的群体，在具体地落实双基时，积累了解题教学的许多经验，在学习消化波利亚的著作之后，形成丰富多彩的若干流派.张景中院士说：练武功的上乘境界是要“无招胜有招”.但是小巧果然不足取，大巧也确实太难，对于大多数学子，还要重视有章可循的招式…… 也就是说，把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法，即算法. 但如果不讲方法，搞题海战术，一题一法，这种“小巧”也不可取，对于数学教学而言，还是要讲求循序渐进，学习有章可循的解题通法. 这是张院士提出的教育数学思想的一个组成部分，有着重要的理论意义和实用价值.我们体会，中巧说的核心是有章可循，关键是反思、总结、提炼.对于前者，应该提炼出有效的算法，一步一步按部就班即可；对于后者， 我们也应该总结出一些规律，若干个方法，指出先思考什么,再用哪种方法，使之有方向可探,让解题经验显性化. 张院士当过初中数学教师，他的这些话，既体现了科学家的智慧，也凝聚了数学教师的经验.张院士研究方向主要是几何的计算机证明，他创造了“张法”，使任何几何题都可以用计算机加以证明，而且这个证明过程是可读的.应该说，张院士就是运用了我国数学研究的传统——算法思想，把人们通常认为千变万化的，无法程序化的，必须绞尽脑汁才能证出来的几何题，归纳为一套按部就班的可操作的方法，成为算法的一个典范.中巧说实际上也是许多优秀教师教学经验的结晶，他们都反对题海战术，主张总结规律，用规律来指导学生解题.上海老一辈的数学教育家赵宪初说：“先要举三反一，才能举一反三.”赵老说的“一”，应该就是指规律.要知道，赵老执教的是上海的名校——南洋模范中学，这个学校的毕业生中有30多名院士，著名的计算机专家王选院士和数学家张恭庆院士就是其中的两位.这个学校的学生水平都是了不得的，对这样的学生，教师尚且要先“举三反一”，帮助他们总结出规律来，然后才能“举一反三”，更何况一般的学校呢？北京的名师孙维刚提出：“一题多解，多解归一，多题归一”，也有总结的意思在其中.福建的名师任勇更是直接，他认为：“概括各类问题的解法是一种重要的数学记忆模式.” 我国学者徐利治和郑毓信提出“数学即是模式的建构和研究”，并撰写了《数学模式论》（广西教育出版社,1993年）.整个数学的历史就是提出问题、形成模式、研究模式、应用模式，最后突破模式,并创造新模式的历史.欧几里得把几何归结为一个公理化的体系，笛卡儿从代数化的角度突破了这个模式，形成了解析几何新体系，罗巴切夫斯基从公理的角度，突破了欧几里得几何,创立了非欧几何的体系.数学家如此地重视模式,以至到20世纪中叶，法国有一批数学家，用布尔巴基的名字出版了一系列的著作，取名为《数学原本》，企图找到整个数学究竟是什么样的结构、体系和模式.尽管他们的期望最终没有达到，但他们的成果对认识数学是十分有益的.而中巧说就是对某个类型的题的解法总结成算法，并形成模式，因此是符合学习、研究数学的规律的.有一种观点叫“相同要素论”，即新问题与原有知识之 间有“相同要素”，可以迁移; 还有一种是美国心理学家贾德的概括化理论：概括出一般原理容易迁移. 对数学，概括化理论可能更有效，更值得推荐，特别是在当前.我们要从杂乱无章的习题中，概括出一般原理来，对克服题海战术肯定是有效的.
我国已经普及九年义务教育，在发达的地区，基本上普及了高中教育.对大多数的学校来说，主要是培养有文化的普通劳动者.人的智力分布呈正态分布，即聪明的和愚笨的占少数，中间状态的占绝大多数. 不能期望人人都掌握大巧，正如张院士说的那样：“大巧”还是要靠个人领悟，难以言传.张景中院士在论述中巧说时，很谨慎地用了“对大多数学子”这一词语：“对大多数学子来说，还要重视有章可循的招式.” 不可否认的，现在中学界，大多数学校奉行的仍是题海战术.题海战术就是企图让学生做遍所有的题目来应付考试，其产生的负面影响可想而知.而如果采用中巧，把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法，并把这种方法教给学生，效果肯定是好的. 戴再平教授认为：模式识别是解数学题时广泛采用的策略. 华南师范大学傅学顺教授提出的一系列观点中，“反应块思想”很有特色.恰逢波利亚的著作传到中国，并引起了华罗庚等学者的重视，学者们觉得要跟踪波利亚，要像波利亚一样研究数学学习的规律和解题的方法.于是，由中科院数学研究所副所长，学部委员（也就是后来称的院士）关肇直岀面招收一名数学教育方向的研究生，这名研究生就是傅学顺.傅学顺既受到华罗庚、关肇直等学者的培养，也得到钱学森的指点； 既研究波利亚这样的国外学说，也研究总结像我国的原北师大副校长傅种孙先生这样的前辈数学教育家的经验. 因此他提岀的观点可能和部分一流学者的学习经验有关.优秀生脑海里不仅储存有定理及其证明，而且储存有另外的许多基本问题及其解法. 一拿到数学问题，通过联想（或其他思维方法诱发），可以迅速认出问题中包含的一个个基本问题（称为反应块），从而把难题分解,迅速降低难度. 20世纪八九十年代，上海的徐方瞿老师提出了“基本图形分析法”； 上海南洋模范中学的江志英老师在教平面几何时，十分重视从已知条件里能够伸展出什么结论来； 还有许多教师，强调学生要记住112,122,132 ,…, 192的值，等等，应该说都是强调积累，记住定理公式的一些推论，记住基本图形的性质，记住一些典型例题，记住一些数据，便于在解题时迅速调用. 由于脑子里有不少反应块，学生在调用时，会产生“一看到……就想到……”的反应. 对于语文，一般是通过学习一篇篇的范文，从中体会写作的道理，从而学习写作，这大概就是“相同要素论”在起作用.“相同要素论”，不但有助于语文学习，而且在数学学习中，也有一定的作用.我们常常在解题时遇到这样的情况：这道题和以前做过的某道题有类似的地方，这就是在寻找“相同要素”，于是就把解原来那道题的方法、经验迁移过来. 一个好的数学家与一个蹩脚的数学家差别在于，前者有很多具体的例子，后者只有抽象的理论. 但是这些例子应该是范例，少而精，才能记得住，才容易迁移.可惜，现在不少数学教师是布置大量的练习，并对学生说“我都给你们做过了，再考不出，不是我的事情了”，这种做法是把“相同要素论”异化了.试想，头脑里充满了杂乱无章的例子，你叫他怎么搜索到所需要的例子？搜索不到所需要的例子，怎么迁移？反应块思想强调要把公式的一些推论、典型例题、基本图形性质记在脑子里，有用的东西积累多了，遇到新问题，就可以进行联想，这样就有利于解题.这些公式的一些推论、典型例题、基本图形性质，从心理学上说，是一种“图式”，专家和新手的差别之一，就是头脑里储存的图式的多寡和质量.据说国际象棋冠军头脑里储存了几万个棋局，所以他能够面对复杂局面迅速作出反应.张奠宙教授在《中国数学双基教学》一书中提岀中国数学双基四大特征：记忆通向理解形成直觉，运算速度保证高效思维，演绎推理坚持逻辑精确，依靠变式提升演练水准，明确指出记忆在数学学习中的重要性.西方强调理解，甚至认为不理解的记忆，3个月一定忘记. 然而，对于一时不怎么理解，可以先记住了，并在运用中慢慢加深理解，也是一种有效的学习方法.
人生识字糊涂始，就是这个意思. 如，九九表，有多少孩子能够理解它的意思？先记住了再说，以后慢慢地理解它. 反应块思想认为，不但要记住一些公式，还要记住它的一些推论，需要记住基本图形的性质，需要记住典型例题，记住小经验，以便在需要时可以迅速调用，这对解题肯定是有益的，并且使用的过程又可以加深对公式、推论的理解.据说有个有关爱因斯坦的故事：有人问爱因斯坦一个数据，他回答说，“我不知道，可以查手册.”他的头脑里只记有用的东西，能够让计算机做的，能够在手册上査到的，就没有必要记住.但是我们认为这个故事，与反应块思想的积累并不矛盾.数学优秀生的思维有好多特征，联想能力强是其中的一个重要特征.优秀生从不就事论事，决不放过解题过程中的任何“副产品”： 优秀生解一道题往往可以引岀几道新题，解决了就一并存入脑海，使知识体系不断膨胀，使思路向各方延伸，使自己善于识别改头换面的问题. 顾泠沅主持的青浦实验，最早提出了数学变式教学的概念.变式教学，就是变更概念中的非本质属性：变换条件和结论，转换问题的形式或内容，配置实际应用的环境或使问题背景复杂化，而概念或问题的本质不变.通过变式练习，教师为学生的思维发展提供了一个个阶梯，重复但不呆板. 每一个变式，具有创新的意味，但是又能夯实基础，实现“在坚实的基础上有所发展”的教学理念.张奠宙教授说，依靠变式可以提升演练水准，原因之一是因为变化的东西能让人有新鲜感，这是符合心理学原理的.人们对数学问题的认识是一个由浅入深、由易到难的循序渐进的过程，习题的变式一般以阶梯型呈现，即习题的设计由浅入深、由易到难、由简到繁、由模仿到开放，层层推进，逐步展开.变式训练的这种循序渐进的做法，当然也是符合认知规律的.因为变式是保留问题的本质部分，变化非本质部分，更改问题的情境或改变思维的角度，让学生可以体会到，不管怎样变化，原来万变不离其宗.通过变式可以生成一组题，实现有机串联，既能覆盖某个知识技能的诸多方面，又有助于理解本质和关键.解决了这样一组题，学生往往会有感而发，“这类问题我都不怕了 ”，从而形成优良认知结构，如解题模块、命题联想系统等.为了提高课堂的容量以及效率，我们可以编制一两道习题，通过对习题的变式，或加一条线，或改变一个数据，深层次挖掘，由“一题多变”，达到“一题多用”的效果.由于题目形式上变动不大，抄题画图的时候就可以省下来了，学生顺次思考，马上可以读懂题目，也省下了再次重新审题的时间，因此提高了课堂教学的效率.爱因斯坦认为，当学校里所学的具体内容都忘记的时候，还留在脑子里的就是素质.我们一生中，数学课程一般长达9至12年，甚至更多，但是据统计70%的人只用到小学的算术，29%的人用到中学数学，只有1%的人才会用到高等数学.大多数人成年之后，基本上把数学知识都忘得差不多了. 少的可能只知道三段论，
多的可能记住了化归、反推、特殊化等等.不论多少，这些在脑子里留下的东西确实是涉及数学素质的东西，而这些东西大多是数学思想方法. 不少教师在习题教学中主张突出数学思想方法，提高数学素质.经徐利治教授的倡导，近几十年来，我国数学教师在这方面做了大量的工作.特别值得提出的是由无锡市徐沥泉老师，天津市杨世明(杨之)等主持的“MM( mathematical methodology)教育方式”的全国性的大型试验，这个实验是全方位的，就数学习题教学来说，既教论证又教猜想可能是其第一个特点，而第二个特点就是渗透数学思想方法.现在，化归思想、特殊化、分类讨论、交轨法等等，已经成为广大教师频繁使用的词语.因此，提倡在数学教学中，特别在数学习题教学中，渗透数学思想方法的数学素质论已为广大教师所接受.张奠宙教授在《中国特色的数学教育理论刍议》一文中指出，数学教学中关注数学思想方法的提炼，是中国数学教育的重要特征, 到现在为止，西方的数学教育界，还没有像我们这样地关注数学思想方法. 每个学科都有各自需要培养的素质，如有的学科要培养动手实验，有的要培养情感体验，而数学学科要培养的主要素质是数学思维方法.目前中学广泛使用的种种数学思想方法，就是数学思维方法中的一部分，有利于数学学习，也有利于学生今后的发展.难怪“MM”的实验者骄傲地声称，别的教学方法的实验，到初三、高三就不敢再实验了，而“MM”有鲜明的学科特色，不怕中考、高考，在毕业班照样实验.因为他们的实验不是花花动作，而是揭示数学本质的,是实打实的.不要以为数学培养的就是三段论这样的逻辑思维，其实数学思想方法里充满了辩证法，如“退,退到足够的地方”，反证法，主元法，割补法，变换，化归等等，在数学教学中渗透数学思想方法，肯定有利于学生辩证思维的形成.孙维刚是北京22中数学教师，他在改革开放后，进行了三轮从初一到高三的试验，既教数学，又当试验班的班主任.他的1997届高三毕业班，有40名毕业生，100%达到一本线，22名考上北大、清华，1名得了国际奥数金牌，8名获全国数学联赛一等奖.北京22中不是重点中学，这样的业绩，至今无人能及.孙维刚的教学经验是全方位的，就数学教学而言,他本入总结了5条：④题不在多但求精彩，学会一题多鮮、多解归一、多题归一； ⑤从初一开始，就提倡和指导学生开展问题研究，练习写论文. 本书只研究数学习题教学，但研究孙老师的数学习题教学时，很难和他整体的数学教学思维割裂开来.笔者学习了孙维刚的著作之后，觉得孙老师的数学习题教学的要点可归结如下：（1）题不在多但求精彩，主张发散思维和收敛思维相结合当然，因为他把学生的学习积极性调动起来了，学生在课外肯定也不会闲着.更为特别的是，他主张一题多解、多解归一、多题归一，是非常精彩的、经典的论述.而多解归一、多题归一（他总结了4个大规律，15个中规律,40个小规律），则是总结、提炼，是收敛思维. 应该说，孙老师在解题教学时，是教规律，教策略，教算法，教应变特点.孙老师不就事论事，他的课不图表面的热闹，而是数学味很浓，又常常把解法提升到数学思想方法的高度，提升到哲学的高度，强调“站在系统高度看问题”，提出了广义对称思想、运动观点、美学观点等等.孙老师讲究“怎么想出来的”，有时会毫不吝惜地用好几堂课的时候来分析一道题. （4）鼓励学生创新，提出问题，质疑，具有发现法教学的特征孙老师提出从初一开始就要写论文，鼓励提出问题，并提出要“打倒孙老师”.同时，又调动了学生学习积极性,使学生的思维非常活跃. 之所以说孙维刚风格是一个流派，是因为他集我国优秀数学教师的优秀经验于一身.如，在揭示数学内涵方面，我国大多数数学教师，在数学解题中都注意突岀数学思想方法. 又如在调动学生学习积极性，激发思维方面，南京师范大学附属中学的马明老师就特别重视启发、激活学生的思维，他一生中上课无数，但没有录过像，为什么？就是因为他为了启发、激活思维,对有价值的问题不惜时间进行探讨，因此常常会完不成事先设计的教学内容. 又如，上海市西南位育中学的陆云亭老师有时在课上只讲一两个例题，当学生说岀了一个正确的解法时，陆老师还要问：“你是怎么想出来的?”就这样，层层揭示学生的思维过程. 他上课不是一板一眼的，而是“信马由缰，八方联系”，因此很多教师学习和模仿孙老师的大规律、中规律、小规律的，常常觉得无从着手.尤其是在当前这种教学强调规范，强调中规中矩，甚至要检查教师教案的大环境背景下，孙老师的做法能不能推广，是个问题.如，不提倡预习，反对先复习再做题，不留家庭作业，考试不严格监场……这是在连续6年并自己带班的特定的环境下形成的，在当前能不能推广，更是个难题.不管怎样，他的教学风格，成为我国数学教师的一个标杆，是我们学习的榜样，是毋庸置疑的.数学教师的教学是综合艺术，往往还是会将几种做法融合在一起的.如孙维刚风格就是融合的典范，既讲清数学，又激发思维；既教实.又教活的典范.“反应块思想”对全体学生也都有效，但对中等以上的学生可能更有施展的余地, “变式教学”、“数学素质论”早已为广大教师所接受，并已经广泛使用,“孙维刚风格”是大家学习的榜样，但由于他宽阔的知识面和独特的个人魅力，以及他留下的经验的操作性不够，广大教师学习起来有一定的困难. 根据当前我国教育的现状，学习和研究适合于大多数学子的、可操作的“中巧说”，可能显得 更为重要.因此、本书的主要指导思想是“中巧说”，也吸收了其他流派的一些做法.本文摘自《陈永明实话实说数学教学》《数学习题教学研究》
邹生书数学 2021年第三季度
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