【原】欧拉发现的最深刻的数学真理之一，一个数学奇迹，揭示了数字分割之谜

这是我所见过的最美丽的数学“东西”之一，是由18世纪的数学家欧拉发现的，对于欧拉及其作品，我们做过很多介绍：

欧拉常数——最神秘的数字，调和级数的产物，至今看不清它的面貌

很多人真正爱上数学，是从欧拉公式开始的，它到底有怎样的魔力？

世界上最短的数学论文系列，关于费马大定理和欧拉猜想

调和级数——自然真理是如何隐藏在数字中的，永远不要相信直觉

又是欧拉，用代数法求解四次方程的通解，伟大头脑的一个精妙设计

欧拉方法，用初等微积分证明质数有无穷多个，极为巧妙

这位数学家所做的很多数学工作本身就令人震惊。为了理解我所说的和文章开头的图片，我们先问自己一个简单的问题：在不考虑顺序的情况下，有多少种方式可以将一个数字写成其他数字的总和？

这是一个相当难的问题，让我们先从一些简单的例子入手，比方说4，现在所有这些所谓的 "方式 "是：

这就是所谓的4的分割（请允许我这么称呼），这些是把4分成其他正整数的方法。假设p(4)代表4的分割量，那么p(4)=5。不管你信不信，p(100)=190,569,292，这意味着有190,569,292种方法可以把100写成正整数之和。

一个数字的分割量是一个非常深刻的数学问题，欧拉发现的最深刻的真理之一，可以用来精确地根据其他数字的分割量来计算一个数字的分割量。首先让我们列出一些数字的分割量的数值：

• p(0)=1
• p(1)=1
• p(2)=2=p(1)+p(0)
• p(3)=3=p(2)+p(1)
• P(4)=5=P(3)+P(2)
• p(5)=7=p(4)+p(3)-p(0)
• p(6)=11=p(5)+p(4)-p(1)
• p(7)=15=p(6)+p(5)-p(2)-p(1)
• p(8)=22=p(7)+p(6)-p(3)-p(1)
• p(9)=30=p(8)+p(7)-p(4)-p(2)

p（数字）=p（数字-1）+p（数字-2）-p（数字-5）-p（数字-7）-…

这相当有趣。现在，这些数字（1、2、5、7、12、15、22…）是什么？看看每一个奇数位置的数字（比如第1个、第3个、第5个等等），把它们列出来：1、5、12、22…，尽管它们可能只是看起来很随机，但它们确实有一个非常简单的规律，这个规律是：

这正是它的本质，至于偶数，其中第n个数字的确切值是：

这些数字是所谓的 "五边形数"，

• 五边形数是能排成五边形的多边形数。其概念类似三角形数及平方数，不过五边形数和三角形数及平方数不同，所对应的形状没有旋转对称（Rotational symmetry）的特性。

欧拉证明了，对于n是你选择的任何数字，对于p（0）=1和对于所有负数，它们的分割量是0，我们有：

这揭示了所有数字分割量的真理。