曲梦卿Menethil / 数学和物理科普 / 欧拉发现的最深刻的数学真理之一,一个数...

分享

   

欧拉发现的最深刻的数学真理之一,一个数学奇迹,揭示了数字分割之谜

2021-10-19  曲梦卿Men...

这是我所见过的最美丽的数学“东西”之一,是由18世纪的数学家欧拉发现的,对于欧拉及其作品,我们做过很多介绍:

这位数学家所做的很多数学工作本身就令人震惊。为了理解我所说的和文章开头的图片,我们先问自己一个简单的问题:在不考虑顺序的情况下,有多少种方式可以将一个数字写成其他数字的总和?

这是一个相当难的问题,让我们先从一些简单的例子入手,比方说4,现在所有这些所谓的 '方式 '是:

这就是所谓的4的分割(请允许我这么称呼),这些是把4分成其他正整数的方法。假设p(4)代表4的分割量,那么p(4)=5。不管你信不信,p(100)=190,569,292,这意味着有190,569,292种方法可以把100写成正整数之和。

一个数字的分割量是一个非常深刻的数学问题,欧拉发现的最深刻的真理之一,可以用来精确地根据其他数字的分割量来计算一个数字的分割量。首先让我们列出一些数字的分割量的数值:

  • p(0)=1

  • p(1)=1

  • p(2)=2=p(1)+p(0)

  • p(3)=3=p(2)+p(1)

  • P(4)=5=P(3)+P(2)

  • p(5)=7=p(4)+p(3)-p(0)

  • p(6)=11=p(5)+p(4)-p(1)

  • p(7)=15=p(6)+p(5)-p(2)-p(1)

  • p(8)=22=p(7)+p(6)-p(3)-p(1)

  • p(9)=30=p(8)+p(7)-p(4)-p(2)

p(数字)=p(数字-1)+p(数字-2)-p(数字-5)-p(数字-7)-…

这相当有趣。现在,这些数字(1、2、5、7、12、15、22…)是什么?看看每一个奇数位置的数字(比如第1个、第3个、第5个等等),把它们列出来:1、5、12、22…,尽管它们可能只是看起来很随机,但它们确实有一个非常简单的规律,这个规律是:

这正是它的本质,至于偶数,其中第n个数字的确切值是:

这些数字是所谓的 '五边形数',

  • 五边形数是能排成五边形的多边形数。其概念类似三角形数及平方数,不过五边形数和三角形数及平方数不同,所对应的形状没有旋转对称(Rotational symmetry)的特性。

欧拉证明了,对于n是你选择的任何数字,对于p(0)=1和对于所有负数,它们的分割量是0,我们有:

这揭示了所有数字分割量的真理。

    本站是提供个人知识管理的网络存储空间,所有内容均由用户发布,不代表本站观点。请注意甄别内容中的联系方式、诱导购买等信息,谨防诈骗。如发现有害或侵权内容,请点击一键举报。

    0条评论

    发表

    请遵守用户 评论公约

    类似文章 更多
    喜欢该文的人也喜欢 更多

    ×
    ×

    ¥.00

    微信或支付宝扫码支付:

    开通即同意《个图VIP服务协议》

    全部>>